Dùng các phương trình tương đương:

Nếu \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\frac{\left(a+b\right)}{2}\right)^2\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{2}\ge\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a^2+2ab+b^2\right)}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2a^2+2b^2}{2}-\frac{a^2+2ab+b^2}{2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2a^2+2b^2-a^2-2ab-b^2}{2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab-b^2}{2}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{2}\ge0\)

mà (a-b)²>=0

(a-b)²/2>=0.

Ta có:

 \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge\frac{a^2+2ab+b^2}{4} \) 

\(2\left(a^2+b^2\right)=a^2+b^2+2ab\)

\(a^2+b^2\ge2ab\) (trừ 2 vế cho a²+b²)

=> a²+b²-2ab>=0(trừ 2 vế cho 2ab)

=> (a-b)²>=0 (hiển nhiên)

Vậy \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)

có cần full ko :3

có chứ anh

=\(a^3+b^3+c^3-3abc\)

Ta có: 1 giờ 20 phút = 4/3 giờ

Gọi vận tốc riêng của ca nô la a (km/giờ) (với a > 0) 
Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là: a + 3 (km/giờ) 
Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là:a - 3 (km/giờ) 

Ta có pt: 

\(\frac{4}{3}.\left(a+3\right)=2\left(a-3\right)\)

\(\Leftrightarrow4a+12=6a-18\)

\(\Leftrightarrow a=15\)

=> Vận tốc riêng của Ca nô là: 15 km/giờ

Ta có : 1h20' = 3/4 h

Gọi vận tốc riêng của ca nô là a(km/h) với a > 0

=> Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là a + 3 (km/h)

=> Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là a - 3 (km/h)

 Ta có phương trình sau :

 4/3 .  (a+3) =  2( a-4)

<=> 4a + 12 = 6a - 8 

<=> a = 15 (thỏa mãn ĐK)

Vậy vận tốc riêng của ca nô là 15km/h

\(|x+1|+|x+2|+|x+3|=2006x\)

Xét x< 0:

\(\Rightarrow\)2006x< 0 mà vế trái > 0, mâu thuẫn

\(\Rightarrow\)x > 0

Với x > 0 ta có: |x+1|+|x+2|+|x+3|= x+ 1+ x+ 2+ x+ 3

\(\Rightarrow\)x+ 1+ x+ 2+ x+ 3= 2006x

         3x+ 6= 2006x

         6=2006x- 3x

         6=2003x

         x= \(\frac{6}{2003}\)

\(=a\left(b+c\right)\left(b^2-c^2\right)+b\left(c+a\right)\left(c^2-a^2\right)+c\left(a+b\right)\left(a^2-b^2\right)\)

\(=\left(ab+ac\right)\left(b^2-c^2\right)+\left(bc+ba\right)\left(c^2-a^2\right)+\left(ca+cb\right)\left(a^2-b^2\right)\)

\(=ab^3+ab^2c-abc^2-ac^3+bc^3+abc^2-a^2bc-a^3b+a^3c+a^2bc-ab^2c-b^3c\)

\(=ab^3-ac^3+bc^3-a^3b+a^3c-b^3c\)

\(=\left(ab^3-b^3c\right)+\left(bc^3-ac^3\right)+\left(a^3c-a^3b\right)\)

\(=b^3\left(a-c\right)+c^3\left(b-a\right)+a^3\left(c-b\right)\)

\(=b^3\left(a-c\right)+c^3\left(c-a+b-c\right)+a^3\left(c-b\right)\)(Đổi dấu hạng tử ở giữa)

\(=b^3\left(a-c\right)-c^3\left(a-c\right)-c^3\left(c-b\right)+a^3\left(c-b\right)\)

\(=\left(a-c\right)\left(b^3-c^3\right)-\left(b-c\right)\left(a^3-c^3\right)\)

\(=\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(b^2+bc+c^2\right)-\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a^2+ac+c^2\right)\)

\(=\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(b^2+bc+c^2-a^2-ac-c^2\right)\)

\(=\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(b^2-a^2-ac+bc\right)\)

\(=\left(a-c\right)\left(b-c\right)[\left(b-a\right)\left(b+a\right)+c\left(b-a\right)]\)

\(=\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(b-a\right)\left(a+b+c\right)\)

a) Để giá trị biểu thức 5 – 2x là số dương

<=> 5 – 2x > 0

<=> -2x > -5 ( Chuyển vế và đổi dấu hạng tử 5 )

\(\Leftrightarrow x< \frac{5}{2}\)( Chia cả 2 vế cho -2 < 0 ; BPT đổi chiều )

Vậy : \(x< \frac{5}{2}\)

b) Để giá trị của biểu thức x + 3 nhỏ hơn giá trị biểu thức 4x - 5 thì:

x + 3 < 4x – 5

<=< x – 4x < -3 – 5 ( chuyển vế và đổi dấu các hạng tử 4x và 3 )

<=> -3x < -8

\(\Leftrightarrow x>\frac{8}{3}\)( Chia cả hai vế cho -3 < 0, BPT đổi chiều).

Vậy : \(x>\frac{8}{3}\)

c) Để giá trị của biểu thức 2x +1 không nhỏ hơn giá trị của biểu thức x + 3 thì:

2x + 1 ≥ x + 3

<=> 2x – x ≥ 3 – 1 (chuyển vế và đổi dấu các hạng tử 1 và x).

<=> x ≥ 2.

Vậy x ≥ 2.

d) Để giá trị của biểu thức x² + 1 không lớn hơn giá trị của biểu thức (x - 2)² thì:

x² + 1 ≤ (x – 2)²

<=> x² + 1 ≤ x² – 4x + 4

<=> x² – x² + 4x ≤ 4 – 1 ( chuyển vế và đổi dấu hạng tử 1; x² và – 4x).

<=> 4x ≤ 3

 \(\Leftrightarrow x\le\frac{3}{4}\)( Chia cả 2 vế cho 4 > 0 )

Vậy : \(x\le\frac{3}{4}\)