`sin 2x = sin \pi/7`

`<=>` $\left[\begin{matrix} 2x=\dfrac{\pi}{7}+k2\pi\\ 2x=\dfrac{6\pi}{7}+k2\pi\end{matrix}\right.$    `(k in ZZ)`

`<=>` $\left[\begin{matrix} x=\dfrac{\pi}{14}+k\pi\\ x=\dfrac{3\pi}{7}+k\pi\end{matrix}\right.$    `(k in ZZ)`

Vậy `S={[\pi]/14+k\pi;[3\pi]/7+k\pi | k in ZZ}`

TH2: \(m\ne3\)

Ta có: \(y'=3x^2\left(m-3\right)-4m\)

Để hàm số y không có cực trị thì \(\Delta\le0\)

Khi y'=0 thì phương trình y' sẽ có nghiệm kép, mà tại vị trí nghiệm kép đó dấu của y' không đổi nên y sẽ không có cực trị

Khi \(\Delta=0\) nghen, mình gõ nhầm 

\(đặt:\sqrt{x+y+1}=a\ge0;\sqrt{3x+3y}=b\ge0\)\(\left(đk:x+y+1\ge0;3x+3y\ge0\right)\)

\(\Rightarrow b^2-a^2=3\left(x+y\right)-\left(x+y+1\right)=2\left(x+y\right)-1\Leftrightarrow\left(x+y\right)=\dfrac{b^2-a^2+1}{2}\)

\(\Rightarrow a+1=4\left(\dfrac{b^2-a^2+1}{2}\right)^2+b=\left(b^2-a^2+1\right)^2+b\)

\(\Leftrightarrow-\left(a-b\right)\left(a^3+a^2b-ab^2-2a-b^3-2b-1\right)=0\Rightarrow a=b\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+y+1}=\sqrt{3x+3y}\Leftrightarrow x+y+1=3x+3y\Leftrightarrow2\left(x+y\right)=1\Leftrightarrow y=\dfrac{1-2x}{2}\)

\(với:y=\dfrac{1-2x}{2}\Rightarrow pt\) \(dưới\)

\(\Leftrightarrow6x\left(-10x^2+x+3\right)=-1-3\left(2x-1\right)^2\left(3+5x\right)\)

\(rút\) \(gọn\Leftrightarrow-\left(3x-2\right)\left(6x+5\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{2}{3}\Rightarrow y=-\dfrac{1}{6}\\x=-\dfrac{5}{6}\Rightarrow y=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)(thỏa)

bài này chắc có cánh làm đạo hàm f(t') để ra cái a=b nhưng mình chưa học nên phân tích thủ công tí

\(b;\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt[4]{32-x}-y^2+3=0\left(1\right)\\\sqrt[4]{x}+\sqrt{32-x}+6y-24=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(đặt:\left\{{}\begin{matrix}\sqrt[4]{32-x}=a\ge0\\\sqrt[4]{x}=b\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{32-x}=a^2\\\sqrt{x}=b^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2+a-y^2+3=0\left(1\right)\\b+a^2+6y-24=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrow a^2+b^2+a+b-y^2+6y-21=0\Leftrightarrow a^2+b^2+a+b=y^2-6y+21\)

\(có:a^2+b^2\le\sqrt{2\left(a^4+b^4\right)}=\sqrt{2.32}=8\left(bunhia\right)\)

\(có:a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=\sqrt{2.8}=4\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+a+b\le12\)

\(mà:y^2-6y+21=\left(y-3\right)^2+12\ge12\)

\(\Rightarrow dấu"="xảy\) \(ra\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\y=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^4=b^4\Leftrightarrow x=32-x\Leftrightarrow x=16\)

\(x=16;y=3\) \(thử\) \(lại\) \(thấy\) \(thỏa\)

y'=3(x²+5x+1)².(x²+5x+1)'

y'=3(x²+5x+1)².(2x+5)

thay x=2 vào y' có y'=6075

Tham khảo: https://www.gauthmath.com/search-question?search=Y%3D1%2Bsinx%2F%28x-%CF%80%29sinx

Lời giải:
TXĐ: $\mathbb{R}\setminus \left\{-1\right\}$

$y=\frac{x^2}{x^3+1}$

$y'=\frac{x(2-x^3)}{(x^3+1)^2}$

$y'=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=\sqrt[3]{2}$ (tm TXĐ) 

Lập bảng biến thiên với các mốc sau:

$-\infty;-1; 0; \sqrt[3]{2}; +\infty$ thì ta thu được:

Hàm nghịch biến trên $(-\infty; -1)\cup (-1;0)\cup (\sqrt[3]{2}; +\infty)$

Hàm đồng biến trên $(0;\sqrt[3]{2})$

Hàm có giá trị cực tiểu $y_{ct}=y(0)=0$ tại $x=0$

Hàm có giá trị cực đại $y_{cđ}=y(\sqrt[3]{2})=\frac{\sqrt[3]{4}}{3}$ tại $x=\sqrt[3]{2}$

\(1+\dfrac{1}{2}cos\left(x\right)-\dfrac{\sqrt{3}}{2}sin\left(x\right)\)