Đặt \(a=\frac{9+3\sqrt{17}}{4}\) và  \(b=\frac{3+\sqrt{17}}{4}\)khi đó \(a=3b\)và  \(a+1=2b^2=c=\frac{13+3\sqrt{17}}{4}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta thu được các BĐT sau:  \(x^2+b^2y^2\ge2bxy\)

                                                                         \(by^2+z^2\ge2byz\)

                                                                         \(a\left(z^2+x^2\right)\ge2azx\)

Cộng các vế theo các vế các BĐT thu được để có: 

\(\left(a+1\right)\left(x^2+z^2\right)+2b^2y^2\ge2b\left(xy+yz\right)+2azx\)

Hay \(c\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2b\left(xy+yz+3zx\right)\). Từ đó ta thay các giá trị của \(xy+yz+3zx\); b và c để có được

\(P=x^2+y^2+z^2\ge\frac{\sqrt{17}-3}{2}\)

Cuối cùng, với \(x=z=\frac{1}{\sqrt[4]{17}}\)và \(y=\sqrt{\frac{13\sqrt{17}-51}{34}}\)( Thỏa mãn giả thiết )  thì \(P=\frac{\sqrt{17}-3}{2}\)

Nên ta kết luận \(\frac{\sqrt{17}-3}{2}\)là giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x^2+y^2+z^2\)

ĐKXĐ \(\hept{\begin{cases}x^2-4\ne0\\x-2\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow x\ne\pm2\)

\(P=\frac{8}{x^2-4}-\frac{2}{x-2}\)

   \(=\frac{8-2x-4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

    \(=\frac{-2\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

   \(=-\frac{2}{x+2}\)

c,để P âm  \(\Leftrightarrow\frac{-2}{x+2}< 0\Leftrightarrow x+2>0\Leftrightarrow x>-2\)và \(x\ne2\)

Lần sau ghi cái trị tuyệt đối thẳng lên bạn :))))

a) \(2\left|x\right|-\left|x+1\right|=2\left(1\right)\)

- Nếu \(x>0>-1\Leftrightarrow x>0;x+1>0\)

thì \(pt\left(1\right):2x-x-1=2\Leftrightarrow x=3\)( nhận )

- Nếu \(-1\le x\le0\Leftrightarrow x\le0;x+1\ge0\)

thì \(pt\left(1\right):-2x-x-1=2\Leftrightarrow x=-1\)( nhận )

- Nếu \(x< -1< 0\Leftrightarrow x< 0;x+1< 0\)

thì \(pt\left(1\right):-2x+x+1=2\Leftrightarrow x=-1\)( loại )

Vậy phương trinh có 2 nghiệm x = 3 và x = -1

b) \(\left|3x-5\right|=\left|x+2\right|\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}3x-5=x+2\\3x-5=-x-2\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}3x-x=2+4\\3x+x=5-2\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2x=7\\4x=3\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{7}{2}=3,5\\x=\frac{3}{4}=0,75\end{cases}}}\)

Vậy phương trình trên có 2 nghiệm x = 3,5 và x = 0,75

a) 2IxI-Ix+1I=2

+)x<-1

<=>-2x+x+1=2

<=>-x=1

<=>x=-1(không TMĐK)

+)-1\(\le\)x<0

<=>-2x-x-1=2

<=>-3x=3

<=>x=-1(TMĐK)

+)x\(\ge\)0

<=>2x-x-1=2

<=>x=3(TMĐK)

vậy tập nghiệm của pt đã cho là :{-1;3}

\(|\frac{1}{2}x+1|-4=0\)

\(\Rightarrow|\frac{1}{2}x+1|=4\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{1}{2}x+1=4\\\frac{1}{2}x+1=-4\end{cases}}\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{1}{2}x=3\\\frac{1}{2}x=-5\end{cases}}\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=6\\x=-10\end{cases}}\)

Vậy x = 6 hoặc x = -10

_Chúc bạn học tốt_

+) Min: \(A=\frac{x^2}{x^4+x^2+1}\ge0\forall x\) 

Dấu "=" <=> x=0

+) Max: \(1-3A=\frac{x^4-2x^2+1}{x^4+x^2+1}=\frac{\left(x^2-1\right)^2}{x^4+x^2+1}\ge0\)

\(\Rightarrow A\le\frac{1}{3}\)Dấu "=" <=> x= 1,-1

a,ĐKXĐ \(x^3-8\ne0\Leftrightarrow x^3\ne8\Leftrightarrow x\ne2\)

b,\(\Leftrightarrow3x^2+6x+12=0\)

    \(\Leftrightarrow3\left(x^2+2x+1\right)+9=0\)

   \(\Leftrightarrow3\left(x+1\right)^2+9=0\)(VÔ LÝ VÌ 3(x+1)²>=0 =>3(x+1)²+9>0)

vì vây ko có giá trị x để F =0

C, VỚI ĐKXĐ trên ,ta có 

\(F=\frac{3\left(x^2+2x+4\right)}{\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)}\)

    \(=\frac{3}{x-2}\)

ta có:   \(x+\frac{1}{x}=3\)

\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=3^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2.x.\frac{1}{x}+\left(\frac{1}{x}\right)^2=9\)

\(\Leftrightarrow x^2+2+\frac{1}{x^2}=9\)

\(\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=7\)

\(\Rightarrow\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2=7^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2\right)^2+2.x^2.\left(\frac{1}{x^2}\right)+\left(\frac{1}{x^2}\right)^2=49\)

\(\Leftrightarrow x^4+2+\frac{1}{x^4}=49\)

\(\Leftrightarrow x^4+\frac{1}{x^4}=47\)

\(x+\frac{1}{x}=3\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}=9\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=7\)

\(\Rightarrow\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2=x^4+2+\frac{1}{x^4}=49\Rightarrow x^4+\frac{1}{x^4}=47\)