\(A=\frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}=\frac{4\sqrt{x}+8-8}{\sqrt{x}+2}=4-\frac{8}{\sqrt{x}+2}\)(x \(\ge0\))

Nhận thấy \(\sqrt{x}\ge0\Leftrightarrow\sqrt{x}+2\ge2\Rightarrow-\frac{8}{\sqrt{x}+2}\ge-4\)

<=> \(4-\frac{8}{\sqrt{x}+2}\ge0\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = 0

Vậy Min A = 0 <=> x = 0 

Xét hiệu  \(D=\sqrt{2016}-\sqrt{2014}-\left(\sqrt{2017}-\sqrt{2016}\right)\)ta có:

\(D=\sqrt{2016}-\sqrt{2014}-\sqrt{2017}+\sqrt{2016}=2\sqrt{2016}-\sqrt{2014}-\sqrt{2017}\)

Ta thử so sánh \(2\sqrt{2016}\)và \(\sqrt{2014}+\sqrt{2017}\)

Ta có \(\left(\sqrt{2014}+\sqrt{2017}\right)^2=2014+2017+2\sqrt{2014.2017}\)

\(=4031+2\sqrt{\left(2015,5-1,5\right)\left(2015,5+1,5\right)}=4031+2\sqrt{\left(2015,5\right)^2-\left(1,5\right)^2}\)

Mặt khác \(\left(2\sqrt{2016}\right)^2=4.2016=2.2016+2.2016=4032+2\sqrt{2016^2}\)

Ta thấy 4032 > 4031 và 2016² > (2015,5)² - (1,5)² (hiển nhiên) 

\(\Rightarrow4032+2\sqrt{2016^2}>4031+2\sqrt{\left(2015,5\right)^2-\left(1,5\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{2016}\right)^2>\left(\sqrt{2014}+\sqrt{2017}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{2016}>\sqrt{2014}+\sqrt{2017}\)

\(\Rightarrow D>0\)

\(\Rightarrow\sqrt{2016}-\sqrt{2014}>\sqrt{2017}-\sqrt{2016}\)

a) \(\Delta ABC\)vuông tại A \(\Rightarrow AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\left(cm\right)\)

b) Dễ thấy \(\widehat{EAF}=90^0\)(từ \(\Delta ABC\)vuông tại A nên \(\widehat{BAC}=90^0\)mà E thuộc AB, F thuộc AC)

Theo giả thiết ta cũng dễ dàng chứng minh được các góc AEH và AFH bằng 90⁰.

Từ đó suy ra tứ giác AEHF là hình chữ nhật (theo định nghĩa)

c) Dễ thấy \(EH//AC\left(\perp AB\right)\). Xét \(\Delta ABC\)có E thuộc AB, H thuộc BC và EH//AC (cmt)

\(\Rightarrow\)\(\Delta EBH~\Delta ABC\)(hệ quả của định lý Ta-lét) (1)

Tứ giác AEHF là hình chữ nhật (cmt) nên ta dễ dàng chứng minh \(\Delta HEF=\Delta AFE\)

\(\Delta ABH\)vuông tại H có đường cao HE \(\Rightarrow AH^2=AE.AB\left(htl\right)\)

Tương tự, ta có: \(AH^2=AF.AC\)

Từ đó ta có \(AE.AB=AF.AC\Rightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\)

Và từ đó dễ thấy \(\Delta AFE~\Delta ABC\left(c.g.c\right)\)

Mà \(\Delta AFE=\Delta HEF\left(cmt\right)\Rightarrow\Delta HEF~\Delta ABC\)

Lại có \(\Delta EBH~\Delta ABC\left(cmt\right)\Rightarrow\Delta EBH~\Delta HEF\left(đpcm\right)\)

d) Thôi xong, câu này tớ chứng minh trong câu c rồi, nhưng mà còn nhiều cách khác để chứng minh \(\Delta AFE~\Delta ABC\).trong câu c.