Đặt \(\hept{\begin{cases}2\left(p+1\right)=4x^2\\2\left(p^2+1\right)=4y^2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow2\left(x-y\right)\left(x+y\right)=p\left(p-1\right)\)

Làm nốt. Xét từ nhân tử VT chia hết cho từng nhân tử VP là xong

Ta có: 

\(a^2+1=a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)

Tương tự suy ra biểu thức đã cho bằng \(\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\) và là số chính phương

GTNN 

Xét tử : x^4+x^2+5= x^4+2x^2+1 -x^2+4 =(x^2+1)^2 -(x-2)(x+2)

=> GTNN của Biểu thức là 1 <=> x=2 hoặc x= -2

GTLN: Ko có

Ta có \(5!\equiv0\left(mod5\right)...;2020!\equiv0\left(mod5\right)\)

Mà \(4!+2013=2037\equiv2\left(mod5\right)\)

=> A\(\equiv2\left(mod5\right)\)

Mà số chính phương khi chia cho 5 chỉ có số dư là +-1

=> A k là SCP (ĐPCM)

^_^

Ta thấy 4!=1*2*3*4 =24

=> 2013+4! tận cùng là 7

5!+6!+..+2020! luôn luôn tận cùng là 0 

=> Tổng tận cùng là 7 

=> Tổng ko là số chính phương

Sao cho t là số chính phương à

mk ghi thiếu sao cho T là số chính phương

Ta có:
\(A=n^2\left(n^2+n+1\right)\)
Để A là số chính phương thì \(n^2=n^2+n+1\)(1) hoặc \(n=n\left(n^2+n+1\right)\)(2) hoặc \(1=n^4+n^3+n^2\)(3)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow n=-1\left(tm\right)\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=0\\n=-1\end{cases}}\)
\(\left(3\right)\Leftrightarrow n=-1\)
Vậy n=0 hoặc n=-1
 

Ta có Pt 

<=> \(x^2+x-2+2y^2-2xy^2+y-xy=1\)

<=> \(\left(x-1\right)\left(x+2\right)+2y^2\left(1-y\right)+y\left(1-y\right)=1\)

<=>\(\left(x-1\right)\left(x+2-2y^2-y\right)=1\)

vì x,y là các số nguyên ..,. xét ước của 1 là xong 

^_^

p/s : t vt nhầm tí, đoạn nhóm nhân tử phải là x-1 nhá, dạo này lú quá ^^

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm, ta được:

\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=2\ge2\sqrt{\frac{2}{xy}}\Leftrightarrow\sqrt{\frac{2}{xy}}\le1\Leftrightarrow xy\ge2\)

\(5x^2+y-4xy+y^2=\left(2x-y\right)^2+x^2+y\ge x^2+y\)

\(=x^2+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}\ge3\sqrt[3]{x^2.\frac{y}{2}.\frac{y}{2}}=3\sqrt[3]{\frac{\left(xy\right)^2}{4}}\ge3\sqrt[3]{\frac{4}{4}}=3.1=3\)