Bài 1: (P) : y = x² ; (d) : y = mx + 1 

Xét pt hoành độ giao điểm của (d) và (P): 
x² = mx + 1 <=> x² - mx - 1 = 0 (*) 

(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A,B <=> (*) có 2 nghiệm phân biệt 
<=> Δ > 0 <=> m² + 4 > 0 --> luôn đúng 
--> (d) luôn cắt (P) tại A,B 

Gọi tọa độ A;B lần lượt là (x1 ; y1) ; (x2 ; y2) ; với x1;x2 là 2 nghiệm của pt (*) --> theo Vi-et ,có 

{ x1 + x2 = m 
{ x1.x2 = -1 

có y1 = mx1 + 1 ; y2 = mx2 + 1 
(d) : mx - y + 1 = 0 
Ta có :d(O ; AB) = d(O ; (d)) = |m.0 - 0 + 1| / √(m² + 1) = 1/√(m² + 1) 

AB² = (x1 - x2)² + (y1 - y2)² = (m² + 1)(x1 - x2)² 
= (m² + 1)[ (x1 + x2)² - 4x1x2 ] 
= (m² + 1)(m² + 4) = (m² + 1)(m² + 4) 

--> AB = √(m² + 1)(m² + 4) 

Có dt(ABO) = 1/2*d(O ; AB)*AB = 1/2*1/√(m² + 1)*√(m² + 1)(m² + 4) 
--> dt(ABO) = √(m² + 4) / 2 

theo đề bài thì dt(ABO) = 3 --> √(m² + 4) / 2 = 3 <=> m² = 2 --> m = ± √2 

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
Bài 2: (P) : y = x²/4 ; (d) : y = mx + 1 

Xét pt hoành độ giao điểm của (d) và (P): 
x²/4 = mx + 1 <=> x² - 4mx - 4 = 0 (*) 

Xét pt (*), có Δ' = 4m² + 4 > 0 với mọi m --> (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt --> (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A,B 

Gọi tọa độ A;B lần lượt là (x1 ; y1) ; (x2 ; y2) ; với x1;x2 là 2 nghiệm của pt (*) --> theo Vi-et ,có 

{ x1 + x2 = 4m 
{ x1.x2 = -4 

có y1 = mx1 + 1 ; y2 = mx2 + 1 
(d) : mx - y + 1 = 0 
Ta có :d(O ; AB) = d(O ; (d)) = |m.0 - 0 + 1| / √(m² + 1) = 1/√(m² + 1) 

AB² = (x1 - x2)² + (y1 - y2)² = (m² + 1)(x1 - x2)² 
= (m² + 1)[ (x1 + x2)² - 4x1x2 ] 
= (m² + 1)(16m² + 16) = 16(m² + 1)² 

--> AB = 4(m² + 1) 

Có dt(ABO) = 1/2*d(O ; AB)*AB = 1/2*1/√(m² + 1)*4(m² + 1) 
--> dt(ABO) = 2√(m² + 1)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có: 

\(\left(a+b+c\right)\left(a+a^2b+\frac{1}{c}\right)\ge\left(ab+a+1\right)^2\)

Mà \(\left(a+b+c\right)\left(a+a^2b+\frac{1}{c}\right)=\left(a+b+c\right)\left(a+a^2b+ab\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a}{\left(ab+a+1\right)^2}\ge\frac{a}{\left(a+b+c\right)\left(a+a^2b+ab\right)}=\frac{1}{\left(a+b+c\right)\left(1+ab+b\right)}\)

Tương tự rồi cộng theo vế 3 BĐT ta có:

\(VT\ge\frac{1}{a+b+c}\left(Σ\frac{1}{1+ab+b}\right)=\frac{1}{a+b+c}\left(abc=1\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)

\(VP=\frac{a\left(x^2-x-3\right)+b\left(x^2-2x-3\right)+c\left(x^2+3x+2\right)}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x-3\right)}\)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)x^2+x\left(-a-2b+3c\right)+\left(-3a-3b+2c\right)}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x-3\right)}\)

đồng nhất hệ số ta có 

\(\hept{\begin{cases}a+b+c=21\\-a-2b+3c=4\\-3a-3b+2c=-41\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=24\\b=\frac{-37}{5}\\c=\frac{22}{5}\end{cases}}\)