Đk:\(-7\le x\le3\)

Áp dụng BĐT \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\) ta có:

\(VT=\sqrt{x-3}+\sqrt{7-x}\)

\(\ge\sqrt{x-3+7-x}=\sqrt{4}=2\)

Lại có: \(VP=-x^2+6x-7=-x^2+6x-9+2\)

\(=-\left(x^2-6x+9\right)+2=-\left(x-3\right)^2+2\ge2\)

\(\Rightarrow VT\ge2\ge VP\) xảy ra khi \(VT=VP=2\)

\(\Rightarrow-\left(x-3\right)^2+2=2\Rightarrow-\left(x-3\right)^2=0\Rightarrow x=3\) (thỏa)

Vậy pt có nghiệm x=3

Theo giả thiết có : \(abc\ne0\)chia hai vế của phương trình cho \(abc\)có : \(\frac{2ab+3bc+4ac}{abc}=\frac{5abc}{abc}\Leftrightarrow\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{4}{c}=1\)

Xét : (ở tử của p  tắc 7 = 4+3; 6= 4+2; 5=2+3 rồi nhóm nhân tử chung)

\(P=\frac{7}{a+b-c}+\frac{6}{b+c-a}+\frac{5}{c+a-b}\)

\(=\frac{4}{a+b-c}+\frac{3}{a+b-c}+\frac{4}{b+c-a}+\frac{2}{b+c-a}+\frac{3}{c+a-b}+\frac{2}{c+a-b}\)

\(=4\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\right)+3\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\right)+2\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\)

Nếu có \(x,y\left(x>0,y>0\right)\)ta luôn có \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

áp dụng vào P có

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)

\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{b+c-a+c+a-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)

Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức :

\(P\ge4.\frac{2}{b}+3.\frac{2}{a}+2.\frac{2}{c}=2\left(\frac{4}{b}+\frac{3}{a}+\frac{2}{c}\right)=2.5=10\)

Vậy \(P_{min}=10\)dấu "=" sảy ra khi \(a=b=c=\frac{9}{5}\)

trên đầu mình viết nhầm nhe chỗ tổng phân số bằng 5 chứ ko phải 1 

Bài này may mình có thi qua rùi.

Đặt

\(A=\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+...+\sqrt{4}}}}>0\)

=> \(A^2=4+\sqrt{4+\sqrt{4+...+\sqrt{4}}}\)

=> A² - A = 4           

=> A² - A - 4 = 0

Giải phương trình được 2 nghiệm:

\(A_1=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\)

\(A_2=\frac{1-\sqrt{17}}{2}< 0\)( loại vì A>0)

Vậy \(A=\frac{1+\sqrt{17}}{2}< \frac{1+\sqrt{25}}{2}=\frac{1+5}{2}=3\)

Kết luận: \(\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+...+\sqrt{4}}}}< 3\)

-------------

Chắc bạn ko hiểu chỗ A² - A = 4 nhỉ?

SO SÁNH√4+√4+√4+...+√4

 VỚI 3

SO SÁNH√4+√4+√4+...+√4

 VỚI 3

1. \(\frac{\sqrt{27\left(1-\sqrt{3}\right)^4}}{3\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{3.3^2\left(1-\sqrt{3}\right)^4}}{3\sqrt{15}}=\frac{3\left(1-\sqrt{3}\right)^2}{3\sqrt{15}}=\frac{1-2\sqrt{3}+3}{\sqrt{15}}=\frac{4-2\sqrt{3}}{\sqrt{15}}\)
2. \(=\frac{\sqrt{10}\left(12-8\sqrt{2}+7.15\sqrt{2}\right)}{\sqrt{10}}=12+97\sqrt{2}\)
3. \(=\sqrt{\frac{x.x\sqrt{y}}{y}}=\sqrt{\frac{x^2}{\sqrt{y}}}=\frac{|x|}{\sqrt[4]{y}}\)

a) \(0< x< 2x-1\Leftrightarrow x>\frac{1}{2}.\)

b)\(0< x< x+1\Leftrightarrow x>0.\)

bình 2 vế

\(=\left(\frac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}-\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}^2-1}\right).\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{x}-1\right)}.\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}\)

\(=\frac{x+\sqrt{x}-2-x+\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{x}-1\right)}.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)

\(=\frac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{x}-1\right)}.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)

\(=\frac{2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{2}{\sqrt{x}^2-1}=\frac{2}{x-1}\)

\(=\sqrt{a-b}-\sqrt{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}=\sqrt{a-b}\left(1-\sqrt{a+b}\right)\)