a) \(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left[\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}\right]\ge0\)(#)

Ta có điều (#) đúng nên suy ra ta có đpcm

Câu b đề kì kì bạn ơi

mình cung xử nữ rồi, được không bạn

Cũng dc

\(\sqrt{a^2-1+2\sqrt{a^2-1}+1}\)\(-\sqrt{a^2-1-2\sqrt{a^2-1}+1}\)

=\(\sqrt{\left(\sqrt{a^2-1}+1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{a^2-1}-1\right)^2}\)

=\(\sqrt{a^2-1}+1-\left|\sqrt{a^2-1}-1\right|\)

xet \(TH\) \(\sqrt{a^2-1}\ge1\) \(\Leftrightarrow\left|a\right|\ge\sqrt{2}\)

ta có \(\sqrt{a^2-1}+1-\sqrt{a^2-1}+1\) =2 

th2 \(\sqrt{a^2-1}< 1\Leftrightarrow\left|a\right|< \sqrt{2}\)   

ta co\(\sqrt{a^2-1}+1-1+\sqrt{a^2-1}=2\sqrt{a^2-1}\)

Thanks bạn nhiều lắm

\(\sqrt{\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}{\left(\sqrt{b}+1\right)\left(\sqrt{b}-1\right)}}=\sqrt{\frac{a-1}{b-1}}\) 

Từ \(a^2+b^2=4\Rightarrow\left(a+b\right)^2-2ab=4\Rightarrow2ab=\left(a+b\right)^2-4\)

Ta có: \(2A=\frac{2ab}{a+b+2}=\frac{\left(a+b\right)^2-4}{a+b+2}=a+b-2\)

\(\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}-2=2\sqrt{2}-2\)

\(\Rightarrow2M\le2\sqrt{2}-2\Rightarrow M\le\sqrt{2}-1\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\sqrt{2}\)