D A B C l M K

Từ M kẻ MK // BD (K thuộc DC)

a, Xét t/g DBC có: MK // BD, MB = MC (gt)

=> MK là đường trung bình của t/g DBC

=> CK = DK (1)

Xét t/g AMK có: MK // ID, IA = IM (gt)

=> ID là đường trung bình của t/g AMK

=> DA = DK (2)

Từ (1) và (2) => CK = DA

Mà CK = \(\frac{DC}{2}\)

=>\(DA=\frac{DC}{2}\left(đpcm\right)\)

b, Vì MK là đường trung bình của t/g DBC

=> \(MK=\frac{BD}{2}\left(3\right)\)

Vì ID là đường trung bình của t/g AMK

=>\(ID=\frac{MK}{2}\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) => BD > ID

III.

a)  \(\left(5x+1\right)^2-\left(5x+3\right)\left(5x-3\right)=30\)

\(\Leftrightarrow\)\(25x^2+10x+1-25x^2+9=30\)

\(\Leftrightarrow\)\(10x=20\)

\(\Leftrightarrow\)\(x=2\)

Vậy...

b)  \(\left(3x-1\right)^2+2\left(x+3\right)^2+11\left(x+1\right)\left(1-x\right)=6\)

\(\Leftrightarrow\)\(9x^2-6x+1+2x^2+12x+18+11-11x^2=6\)

\(\Leftrightarrow\)\(6x=-24\)

\(\Leftrightarrow\)\(x=-4\)

Vậy....

II.

a) mk chỉnh lại đề câu a

  \(a^2-2a+1=\left(a-1\right)^2\)

b)  \(1-4a+4a^2=\left(1-2a\right)^2\)

c)  \(a^2+9-6a=\left(a-3\right)^2\)

d)  \(25a^2-20ab+4b^2=\left(5a-2b\right)^2\)

\(D=x^2-4x+5y^2+4y-2\)

\(D=\left(x^2-4x+4\right)+5\left(y^2+2y.\frac{2}{5}+\frac{4}{25}\right)-4-\frac{4}{5}-2\)

\(D=\left(x-2\right)^2+5\left(y+\frac{2}{5}\right)^2-\frac{34}{5}\)

Ta thấy: \(\left(x-2\right)^2\ge0\forall x;\)\(5\left(y+\frac{2}{5}\right)^2\ge0\forall y\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)^2+5\left(x+\frac{2}{5}\right)^2-\frac{34}{5}\ge-\frac{34}{5}\)\(\Rightarrow D\ge-\frac{34}{5}.\)

Vậy \(Min_D=-\frac{34}{5}.\)Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=-\frac{2}{5}\end{cases}.}\)

a) HĐT: \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)

  \(\left(2a+3b\right)\left(4a^2-12ab+9b^2\right)=8a^3+27b^3\)

b) HĐT: \(a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)

  \(\left(5x-4y\right)\left(25x^2+20xy+16y^2\right)=125x^3-64y^3\)

\(mx.\left(x+1\right)>mx.\left(x+m\right)+m^2-1\Leftrightarrow mx^2+mx>mx^2+m^2x+m^2-1\Leftrightarrow mx>m^2x+m^2-1\\ \).

\(\Leftrightarrow mx-m^2x-m^2+1>0\Leftrightarrow mx.\left(1-m\right)+\left(1-m\right).\left(1+m\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-m\right).\left(mx+1+m\right)>0\)

+ Nếu \(m>1\Rightarrow1-m< 0\Rightarrow mx+1+m< 0\Leftrightarrow m.\left(x+1\right)< -1\)

   Mà \(m>1\Rightarrow x+1< -\frac{1}{1}=-1\Leftrightarrow x< -2\)

+ Nếu m<1 thì làm tiếp

a)  \(x^2+10x+25+y^2+1+2y=\left(x+5\right)^2+\left(y+1\right)^2\)

b)  \(x^2-2xy+2y^2+2y+1=\left(x-y\right)^2+\left(y+1\right)^2\)

c)  \(x^2-6x+13+y^2+4y=\left(x-3\right)^2+\left(y+2\right)^2\)

d) \(4x^2+2y^2-4xy-2y+1=\left(2x-y\right)^2+\left(y-1\right)^2\)