\(B=3+3^2+3^3+...+3^{100}\)

Số số hạng của B:

\(100-1+1=100\) (số)

Do \(100:8=12\left(dư4\right)\) nên ta có thể nhóm các số hạng của B thành các nhóm mà mỗi nhóm có 8 số hạng và dư ra 4 số hạng như sau:

\(B=3+3^2+3^3+3^4+\left(3^5+3^6+3^7+3^8+3^9+3^{10}+3^{11}+3^{12}\right)+...+\left(3^{93}+3^{94}+3^{95}+3^{96}+3^{97}+3^{98}+3^{99}+3^{100}\right)\)

\(=120+3^5.\left(1+3+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+3^7\right)+...+3^{93}.\left(1+3+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+3^7\right)\)\(=120+3^5.3280+...+3^{93}.3280\)

\(=120+3^5.40.82+...+3^{93}.40.82\)

\(=120+82.\left(3^5.40+...+3^{93}.40\right)\)

Do \(82.\left(3^5.40+...+3^{93}.40\right)⋮82\)

\(120:82=1\) (dư 38)

\(\Rightarrow120+82.\left(3^5.40+...+3^{93}.40\right)\) : 82 dư 38

Vậy số dư khi chia B cho 82 là 38

\(\dfrac{5}{1\cdot2\cdot3}+\dfrac{5}{2\cdot3\cdot4}+...+\dfrac{5}{99\cdot100\cdot101}\)

\(=5\cdot\left(\dfrac{1}{1\cdot2\cdot3}+\dfrac{1}{2\cdot3\cdot4}+...+\dfrac{1}{99\cdot100\cdot101}\right)\)

\(=5\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{1\cdot2}-\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac{1}{2\cdot3}-\dfrac{1}{3\cdot4}+...+\dfrac{1}{99\cdot100}-\dfrac{1}{100\cdot101}\right)\)

\(=\dfrac{5}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{1\cdot2}-\dfrac{1}{100\cdot101}\right)\)

\(=\dfrac{5}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{10100}\right)\)

\(=\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{5049}{10100}\)

\(=\dfrac{25245}{20200}=\dfrac{5049}{4040}\)

\(a\dfrac{b}{c}=\dfrac{ac+b}{c}\)

Ví dụ:

\(2\dfrac{1}{3}=\dfrac{2\cdot3+1}{3}=\dfrac{7}{3}\)

Muốn đổi từ hỗn số sang phân số: Ta lấy phần nguyên của số đó nhân vơi mẫu số của phần phân số cộng với cả tử số của phần phân số đó.(Giữ nguyên phần mẫu số của phần phân số để làm mẫu số của phân số khi hoán đổi từ hỗn số sang phân số).

Ta có ví dụ:

\(3\dfrac{2}{7}=\dfrac{3\times7+2}{7}=\dfrac{23}{7}\)

\(4,5x+\dfrac{1}{2}-x=1\dfrac{1}{3}\)

\(3,5x=1\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\)

\(3,5x=\dfrac{5}{6}\)

\(x=\dfrac{5}{6}:3,5=\dfrac{5}{21}\)

a) Mẫu số chung 2 phân số: 28

\(\dfrac{3}{4}=\dfrac{3\cdot7}{4\cdot7}=\dfrac{21}{28}\)

\(\dfrac{-2}{7}=\dfrac{-2\cdot4}{7\cdot4}=\dfrac{-8}{28}\)

b)

Mẫu số chung 2 phân số: 10

\(\dfrac{1}{2}=\dfrac{1\cdot5}{2\cdot5}=\dfrac{5}{10}\)

\(\dfrac{-2}{-5}=\dfrac{2}{5}=\dfrac{2\cdot2}{5\cdot2}=\dfrac{4}{10}\)

c)

Mẫu số chung 2 phân số: 24

\(\dfrac{-5}{6}=\dfrac{-5\cdot4}{6\cdot4}=\dfrac{-20}{24}\)

\(\dfrac{3}{8}=\dfrac{3\cdot3}{8\cdot3}=\dfrac{9}{24}\)

d)

Rút gọn:

\(\dfrac{-5}{9}=\dfrac{-5:-1}{9:-1}=\dfrac{5}{-9}\)

Mẫu số chung 2 phân số: 45

\(\dfrac{-4}{5}=\dfrac{-4\cdot9}{5\cdot9}=\dfrac{-36}{45}\)

\(\dfrac{-5}{9}=\dfrac{-5\cdot5}{9\cdot5}=\dfrac{-25}{45}\)

Câu d không có bước rút gọn nhé còn lại đúng hết rồi, mong bạn bỏ qua cho sai sót nhỏ này.

\(5+n^2-2n⋮n-2\)

\(\left(5+n^2-2n\right)+\left(2n-4\right)⋮n-2\)

\(1+n^2⋮n-2\)

\(3\left(n-2\right)+\left(-1-2n\right)⋮n-2\)

\(-1-2n⋮n-2\)

\(\left(-1-2n\right)+\left(2n-4\right)⋮n-2\)

\(-5⋮n-2\)

\(n-2\inƯ\left(-5\right)\)

5 + n² - 2n ⋮ n-2

5 + n(n - 2) ⋮ n - 2 

=> để  5 + n² -2n ⋮ n-2 thì 5 ⋮ n -2 

=>  n - 2 ϵ Ư( 5)

=> n - 2 ϵ { -5 ; -1 ; 1 ; 5 }

+)  n-2 = -5  => n = -3

+)  n-2 = -1   =>  n = 1

+)  n-2 = 1    =>  n= 3

+)  n-2 = 5   =>  n = 7

vậy n ϵ { -3 ; 1 ; 3 ; 7}

Lý thuyết: với toán tử % là phép lấy dư, khi đó:

 \(a^b\%m=\left(a\%10\right)^{b\%4}\%m\)

a) \(3^{2022}\%7=3^2\%7=2\)

b) \(62^{78}\%15=2^2\%15=4\)

c) \(3^{2023}\%10=3^3\%10=7\)

d) \(2^{2000}\%5=2^0\%5=1\)

bạn ơi, dùng theo công thức đồng dư được không ?

\(-\dfrac{3}{4}=\dfrac{x}{12}=\dfrac{-15}{y-1}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{12}=-\dfrac{3}{4}\\\dfrac{-15}{y-1}=-\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{3}{4}\cdot12\\y-1=-\dfrac{3}{4}\cdot\left(-15\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-9\\y-1=\dfrac{45}{4}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-9\\y=\dfrac{49}{4}\end{matrix}\right.\)

Ta có

\(\dfrac{-3}{4}=\dfrac{x}{12}\)

\(x=-3\cdot12:4=-9\)

Lại có:

\(-\dfrac{3}{4}=\dfrac{-15}{y}-1\)

\(\dfrac{15}{y}=-\dfrac{1}{4}\)

\(y=-15\cdot4=-60\)

Kết luận \(\left[{}\begin{matrix}x=-9\\y=-60\end{matrix}\right.\)

xy+3y-x=14

y(x+3)-x+3=14+3

y(x+3)-1(x+3)=17

\(\Rightarrow\)(x+3)(y-1)=17

Vậy (x,y) : (-2,18); (-4,16); (14,2); (-20,0)

1/1.2.3+1/2.3.4+1/3.4.5+...+1/98.99.100

=1/2.(2/1.2.3+2/2.3.4+2/3.4.5+...+2/98.99.100)

=1/2.(2/1.2-2/2.3+2/2.3-2/3.4+2/3.4-2/4.5+...+2/98.99-2/99.100)

=1/2.(2/1.2-2/99.100)

=1/2.(1-2/99.100)

=1/2.(9900/9900-2/9900)

=1/2. 4949/4950

=4949/9900

=1/2.(2/1.2.3+2/2.3.4+2/3.4.5+...+2/98.99.100)

=1/2.(2/1.2-2/2.3+2/2.3-2/3.4+2/3.4-2/4.5+...+2/98.99-2/99.100)

=1/2.(2/1.2-2/99.100)

=1/2.(1-2/99.100)

=1/2.(9900/9900-2/9900)

=1/2. 4949/4950

=4949/9900