\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-5\right)\left(y+4\right)=xy-10\\\left(x+3\right)\left(y-7\right)=xy+10\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}xy+4x-5y-20=xy-10\\xy-7x+3y-21=xy+10\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}4x-5y=10\\-7x+3y=31\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}28x-35y=70\\-28x+12y=124\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-23y=194\\4x-5y=10\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{-194}{23}\\4x=10+5y=-\dfrac{740}{23}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=-\dfrac{194}{23}\\x=-\dfrac{185}{23}\end{matrix}\right.\)

\(x^2-2\left(m-1\right)x-2m=0\)

\(\text{Δ}=\left(-2m+2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2m\right)\)

\(=4m^2-8m+4+8m=4m^2+4>=4>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Xét ΔOCD có OC=OD=CD(=R)

nên ΔOCD đều

=>\(\widehat{COD}=60^0\)

Xét (O) có

\(\widehat{CND}\) là góc có đỉnh ở trong đường tròn chắn hai cung CD và AB

=>\(\widehat{CND}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{AB}+sđ\stackrel\frown{CD}\right)\)

=>\(\widehat{CND}=\dfrac{1}{2}\left(180^0+60^0\right)=120^0\)

Ta có: \(\widehat{ANB}=\widehat{CND}\)(hai góc đối đỉnh)

mà \(\widehat{CND}=120^0\)

nên \(\widehat{ANB}=120^0\)

Xét (O) có

ΔBCA nội tiếp

BA là đường kính

Do đó: ΔBCA vuông tại C

=>BC\(\perp\)MA tại C

Xét (O) có

ΔADB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔADB vuông tại D

=>AD\(\perp\)MB tại D

Xét tứ giác MCND có

\(\widehat{MCN}+\widehat{MDN}+\widehat{M}+\widehat{CND}=360^0\)

=>\(\widehat{M}+90^0+90^0+120^0=360^0\)

=>\(\widehat{M}=60^0\)

Ta có: ΔOCD cân tại O

mà OH là đường cao

nên OH là phân giác của góc COD

=>OM là phân giác của góc COD

=>\(\widehat{COM}=\widehat{DOM}\)

Xét ΔOCM và ΔODM có

OC=OD

\(\widehat{COM}=\widehat{DOM}\)

OM chung

Do đó: ΔOCM=ΔODM

=>\(\widehat{OCM}=\widehat{ODM}\)

mà \(\widehat{ODM}=90^0\)

nên \(\widehat{OCM}=90^0\)

=>MC là tiếp tuyến của (O)

câu 29 : 

\(n\) chẵn \(\Rightarrow n=2k\left(k\inℤ\right)\) 

Khi đó \(P=\dfrac{n}{12}+\dfrac{n^2}{8}+\dfrac{n^3}{24}\)

\(=\dfrac{k}{6}+\dfrac{k^2}{2}+\dfrac{k^3}{3}\)

\(=\dfrac{k+3k^2+2k^3}{6}\)

\(=\dfrac{k\left(2k^2+3k+1\right)}{6}\)

\(=\dfrac{k\left(2k+1\right)\left(k+1\right)}{6}\)

 Nhận thấy \(k,k+1\) là 2 số nguyên liên tiếp nên \(k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)⋮2\)

 Nếu \(k\equiv0,2\left[3\right]\) thì dễ thấy \(k\left(2k+1\right)\left(k+1\right)⋮3\). Nếu \(k\equiv1\left[3\right]\) thì \(2k+1\equiv2.1+1=3\left[3\right]\) nên \(k\left(2k+1\right)\left(k+1\right)⋮3\). 

 Do vậy, \(k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)⋮6\). Suy ra đpcm.

• Phenis
• 
• 21/04/2021

Giải thích các bước giải:

$A=\frac{n}{12}+\frac{n^2}{8}+\frac{n^3}{24}$

$=\frac{2n+3n^2+n^3}{24}$

$=\frac{n(n^2+3n+2)}{24}$

$=\frac{n}{24}\cdot (n^2+3n+2)$

$=\frac{n}{24}[n(n+1)+2(n+1)]$

$=\frac{n(n+1)(n+2)}{24}$

Vì $n(n+1)(n+2)$ là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho $3$

Lại có $n$ là số chẵn, nên đặt $n=2k$, ta có:

$n(n+1)(n+2)=2k(2k+1)(2k+2)=4k(k+1)(2k+1)$

Do $k(k+1)$ là tích hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và $4k(k+1)(2k+1)$ chia hết cho 8

Vậy A chia hết cho 3 và 8, vậy A chia hết cho 24

$\Rightarrow A$ là số nguyên 

 Nhận thấy \(a\) phải là số nguyên tố lẻ. 

 Xét \(a=3\). Khi đó \(3^2+8=17\) là snt. Lúc này \(3^2+2=11\) cũng là snt (thỏa mãn).

 Xét \(a>3\). Khi đó vì \(a\) là snt nên \(a⋮̸3\) \(\Rightarrow a^2\equiv1\left[3\right]\) \(\Rightarrow a^2+8⋮3\), không thỏa mãn.

 Do đó để \(a\) và \(a^2+8\) là snt thì \(a=3\)

 Vậy ta có đpcm.

Nếu \(a=2\Rightarrow a^2+8=12\) là hợp số (loại)

Nếu \(a=3\Rightarrow a^2+8=17\) cũng là SNT, khi đó \(a^2+2=11\) là SNT (thỏa mãn)

Nếu \(a>3\Rightarrow a\) ko chia hết cho 3 \(\Rightarrow a^2\) chia 3 luôn dư 1

\(\Rightarrow a^2+8\) chia hết cho 3 \(\Rightarrow\) là hợp số (loại)

Vậy ...

\(x^2+3y^2+4x+10y-14=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2+3y^2+10y=18\) (1)

\(\Rightarrow3y^2+10y\le18\)

\(\Rightarrow2y^2+8y\le3y^2+10y\le18\)

\(\Rightarrow2y^2+8y+8\le26\)

\(\Rightarrow\left(y+2\right)^2\le13\) 

Mà \(y\) nguyên và \(y\ge0\) \(\Rightarrow y=\left\{0;1\right\}\) 

- Với \(y=0\) thay vào (1) \(\Rightarrow\left(x+2\right)^2=18\) ko tồn tại x nguyên thỏa mãn

- Với \(y=1\) thay vào (1) \(\Rightarrow\left(x+2\right)^2+13=18\Rightarrow\left(x+2\right)^2=5\)  không tồn tại x nguyên thỏa mãn

Vậy ko tồn tại các số nguyên không âm x; y thỏa mãn

mọi ng giúp em hai bài ấy v

Bài 2:

1: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(3x+2\right)\left(2y-3\right)=6xy\\\left(4x+5\right)\left(y-5\right)=4xy\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}6xy-9x+4y-6=6xy\\4xy-20x+5y-25=4xy\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-9x+4y=6\\-20x+5y=25\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-45x+20y=30\\-80x+20y=100\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}35x=-70\\-9x+4y=6\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\4y=9x+6=9\cdot\left(-2\right)+6=-12\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-3\end{matrix}\right.\)

2: \(\left\{{}\begin{matrix}2\left(x+y\right)+3\left(x-y\right)=4\\\left(x+y\right)+2\left(x-y\right)=5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x+2y+3x-3y=4\\x+y+2x-2y=5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}5x-y=4\\3x-y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=-1\\3x-y=5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{2}\\y=3x-5=3\cdot\dfrac{-1}{2}-5=-\dfrac{3}{2}-5=-\dfrac{13}{2}\end{matrix}\right.\)

Bài 1:

1: \(\left\{{}\begin{matrix}4x-2y=3\\6x-3y=5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}12x-6y=9\\12x-6y=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0y=-1\left(vôlý\right)\\4x-2y=3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left(x,y\right)\in\varnothing\)

2: \(\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=5\\4x+6y=10\end{matrix}\right.\)

Vì \(\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}\)

nên hệ này có vô số nghiệm

3: \(\left\{{}\begin{matrix}3x-4y+2=0\\5x+2y=14\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3x-4y=-2\\5x+2y=14\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x-4y=-2\\10x+4y=28\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}13x=26\\3x-4y=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\4y=3x+2=3\cdot2+2=8\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=2\end{matrix}\right.\)

4: \(\left\{{}\begin{matrix}2x+5y=3\\3x-2y=14\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}4x+10y=6\\15x-10y=70\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}19x=76\\3x-2y=14\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=4\\2y=3x-14=3\cdot4-14=12-14=-2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=-1\end{matrix}\right.\)

5: \(\left\{{}\begin{matrix}x\sqrt{5}-\left(1+\sqrt{3}\right)y=1\\\left(1-\sqrt{3}\right)x+y\sqrt{5}=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\sqrt{5}\left(1-\sqrt{3}\right)-\left(1-3\right)y=1-\sqrt{3}\\\left(1-\sqrt{3}\right)\cdot\sqrt{5}\cdot x+5y=\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-3y=1-\sqrt{3}-\sqrt{5}\\\left(1-\sqrt{3}\right)x+y\sqrt{5}=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}-1}{3}\\\left(1-\sqrt{3}\right)x=1-y\sqrt{5}=1-\dfrac{5+\sqrt{15}-\sqrt{5}}{3}=\dfrac{-2-\sqrt{15}+\sqrt{5}}{3}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}-1}{3}\\x=\dfrac{-2-\sqrt{15}+5}{3\left(1-\sqrt{3}\right)}\end{matrix}\right.\)

6: \(\left\{{}\begin{matrix}0,2x+0,1y=0,3\\3x+y=5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=3\\3x+y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x=-2\\3x+y=5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=5-3x=5-3\cdot2=-1\end{matrix}\right.\)

7: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}\\x+y-10=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3x=2y\\x+y=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x-2y=0\\3x+3y=30\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-5y=-30\\x+y=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=6\\x=10-6=4\end{matrix}\right.\)

a: Xét tứ giác ABOC có

\(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90^0+90^0=180^0\)

=>ABOC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OA

=>A,B,O,C cùng thuộc (I), I là trung điểm của OA

b: Xét ΔOBA vuông tại B có \(sinBAO=\dfrac{BO}{OA}=\dfrac{1}{2}\)

nên \(\widehat{BAO}=30^0\)

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AO là phân giác của góc BAC

=>\(\widehat{BAC}=2\cdot\widehat{BAO}=60^0\)

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

Xét ΔABC có AB=AC và \(\widehat{BAC}=60^0\)

nên ΔABC đều

c: Ta có: ΔBOA vuông tại B

=>\(\widehat{BOA}+\widehat{BAO}=90^0\)

=>\(\widehat{BOA}=90^0-30^0=60^0\)

Xét ΔBIO có IO=IB

nên ΔIBO cân tại I

Xét ΔIBO cân tại I có \(\widehat{IOB}=60^0\)

nên ΔIBO đều

=>BI=OI=R

=>\(I\in\left(O\right)\)

Ta có: BI=R

mà BI=CI

nên CI=R

=>OB=BI=CI=OC

=>OBIC là hình thoi

=>BI//OC