Bài 24:

Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-4=-2x-1\\y=x-4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x+2x=-1+4\\y=x-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x=3\\y=x-4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1-4=-3\end{matrix}\right.\)

Thay x=1 và y=-3 vào (d3), ta được:

\(m\cdot1+2=-3\)

=>m+2=-3

=>m=-5

Bài 23:

Để hai đường thẳng y=x+2m+2 và y=(m-1)x+3 cắt nhau thì \(m-1\ne1\)

=>\(m\ne2\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

x+2m+2=(m-1)x+3

=>\(x-\left(m-1\right)x=3-2m-2\)

=>\(x\left(1-m+1\right)=-2m+1\)

=>\(x\left(2-m\right)=-2m+1\)

=>\(x=\dfrac{2m-1}{m-2}\)

Thay \(x=\dfrac{2m-1}{m-2}\) vào y=x+2m+2, ta được:

\(y=\dfrac{2m-1}{m-2}+2m+2=\dfrac{\left(2m-1\right)+\left(2m+2\right)\left(m-2\right)}{m-2}\)

\(=\dfrac{2m-1+2m^2-4m+2m-4}{m-2}=\dfrac{2m^2-5}{m-2}\)

Để hai đường thẳng y=x+2m+2 và y=(m-1)x+3 đồng quy tại điểm có tung độ bằng 3 thì \(\dfrac{2m^2-5}{m-2}=3\)

=>\(2m^2-5=3m-6\)

=>\(2m^2-3m+1=0\)

=>(m-1)(2m-1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m-1=0\\2m-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\left(nhận\right)\\m=\dfrac{1}{2}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Bài 20:

Để (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành thì

\(\left\{{}\begin{matrix}a_1\ne a_2\\-\dfrac{b_1}{a_1}=-\dfrac{b_2}{a_2}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m+1\ne2\\\dfrac{3}{m+1}=\dfrac{m}{2}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m\left(m+1\right)=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m^2+m-6=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\\left(m+3\right)\left(m-2\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\in\left\{-3;2\right\}\)

Bài 21:

Để (d1) cắt (d2) tại một điểm nằm trên trục tung Oy thì

\(\left\{{}\begin{matrix}a\ne a'\\b=b'\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}1\ne2\\m-4=2m-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow2m-1=m-4\)

=>2m-m=-4+1

=>m=-3

a: Thay x=-2 và y=1 vào (d), ta được:

\(-2\left(m-2\right)+n=1\)

=>\(-2m+4+n=1\)

=>\(-2m+n=-3\left(1\right)\)

Thay x=3 và y=-4 vào (d), ta được:

\(3\left(m-2\right)+n=-4\)

=>\(3m-6+n=-4\)

=>3m+n=2(2)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}-2m+n=-3\\3m+n=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-5m=-5\\3m+n=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m=1\\n=2-3m=2-3=-1\end{matrix}\right.\)

b: Thay x=0 và y=-4 vào (d), ta được:

\(0\left(m-2\right)+n=-4\)

=>n=-4

=>(d): y=(m-2)x-4

Thay x=3 và y=0 vào (d), ta được:

\(3\left(m-2\right)-4=0\)

=>\(3m-6-4=0\)

=>3m=10

=>\(m=\dfrac{10}{3}\)

a.

Do (d) qua A nên thay tọa độ A vào pt (d) ta được:

\(-2\left(m-2\right)+n=1\Leftrightarrow-2m+m=-3\)

Do (d) qua B nên thay tọa độ B vào pt (d) ta được:

\(3\left(m-2\right)+n=-4\Rightarrow3m+n=2\)

Ta được hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}-2m+n=-3\\3m+n=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5m=5\\n=2-3m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=1\\n=-1\end{matrix}\right.\)

b.

(d) cắt trục tung tại điểm có tung độ -4 nên:

\(\left(m-2\right).0+n=-4\Rightarrow n=-4\)

(d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 3 nên:

\(3\left(m-2\right)+n=0\Leftrightarrow3\left(m-2\right)-4=0\)

\(\Rightarrow m=\dfrac{10}{3}\)

Vậy ...

a: Thay x=-1 và y=1 vào y=(m-1)x+m, ta được:

-(m-1)+m=1

=>-m+1+m=1

=>1=1(luôn đúng)

Vậy: (d) luôn đi qua A(-1;1)

b: Thay x=-3 và y=0 vào (d), ta được:

\(-3\left(m-1\right)+m=0\)

=>\(-3m+3+m=0\)

=>\(-2m+3=0\)

=>\(-2m=-3\)

=>\(m=\dfrac{3}{2}\)

\(p^2+a^2=b^2\Leftrightarrow p^2=b^2-a^2\)

\(\Leftrightarrow p^2=\left(b-a\right)\left(b+a\right)\) (1)

Do p là số nguyên tố và \(b+a>b-a\) nên (1) tương đương:

\(\left\{{}\begin{matrix}b-a=1\\b+a=p^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{p^2-1}{2}\\p=\dfrac{p^2+1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của pt có dạng \(\left(p;a;b\right)=\left(p;\dfrac{p^2-1}{2};\dfrac{p^2+1}{2}\right)\) với mọi \(p>3\) và p nguyên tố

\(B=\sqrt{\dfrac{8+\sqrt{15}}{2}}+\sqrt{\dfrac{8-\sqrt{15}}{2}}\) 

\(B=\dfrac{\sqrt{8+\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{8-\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}\)

\(B=\dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{8+\sqrt{15}}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{8-\sqrt{15}}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}\)

\(B=\dfrac{\sqrt{16+2\sqrt{15}}}{2}+\dfrac{\sqrt{16-2\sqrt{15}}}{2}\)

\(B=\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{15}\right)^2+2\cdot\sqrt{15}\cdot1+1^2}}{2}+\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{15}\right)^2-2\cdot\sqrt{15}\cdot1+1^2}}{2}\)

\(B=\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{15}+1\right)^2}}{2}+\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{15}-1\right)^2}}{2}\)

\(B=\dfrac{\sqrt{15}+1+\sqrt{15}-1}{2}\)

\(B=\dfrac{2\sqrt{15}}{2}\)

\(B=\sqrt{15}\)

Ta có: \(-3x^2-5x-2=0\)

Theo định lý vi-et ta có: 

\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-5}{-3}=-\dfrac{5}{3}\)

\(x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-2}{-3}=\dfrac{2}{3}\) 

a) \(M=x_1+\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+x_2\)

\(M=\left(x_1+x_2\right)+\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}\)

\(M=-\dfrac{5}{3}+\dfrac{-\dfrac{5}{3}}{\dfrac{2}{3}}=-\dfrac{25}{6}\)

b) \(N=\dfrac{1}{x_1+3}+\dfrac{1}{x_2+3}\)

\(N=\dfrac{x_2+3+x_1+3}{\left(x_1+3\right)\left(x_2+3\right)}\)

\(N=\dfrac{\left(x_1+x_2\right)+6}{x_1x_2+3\left(x_1+x_2\right)+9}\)

\(N=\dfrac{-\dfrac{5}{3}+6}{\dfrac{2}{3}+3\cdot-\dfrac{5}{3}+9}=\dfrac{13}{14}\) 

c) \(P=\dfrac{x_1-3}{x^2_1}+\dfrac{x_2-3}{x^2_2}\)

\(P=\dfrac{x^2_2\left(x_1-3\right)+x^2_1\left(x_2-3\right)}{x^2_1x^2_2}\)

\(P=\dfrac{x^2_2x_1+x^2_1x_2-3x^2_2-3x^2_1}{\left(x_1x_2\right)^2}\)

\(P=\dfrac{x_1x_2\left(x_1+x_2\right)-3\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]}{\left(x_1x_2\right)^2}\)

\(P=\dfrac{\dfrac{2}{3}\cdot-\dfrac{5}{3}-3\cdot\left[\left(-\dfrac{5}{3}\right)^2-2\cdot\dfrac{2}{3}\right]}{\left(\dfrac{2}{3}\right)^2}=-\dfrac{49}{4}\) 

d) \(Q=\dfrac{x_1}{x_2+2}+\dfrac{x_2}{x_1+2}\)

\(Q=\dfrac{x_1\left(x_1+2\right)+x_2\left(x_2+2\right)}{\left(x_2+2\right)\left(x_1+2\right)}\)

\(Q=\dfrac{x^2_1+2x_1+x_2^2+2x_2}{x_1x_2+2x_2+2x_1+4}\)

\(Q=\dfrac{\left(x^2_1+x^2_2\right)+2\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2+2\left(x_1+x_2\right)+4}\)

\(Q=\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2+2\left(x_1+x_2\right)+4}\)

\(Q=\dfrac{\left(-\dfrac{5}{3}\right)^2-2\cdot\dfrac{2}{3}+2\cdot-\dfrac{5}{3}}{\dfrac{2}{3}+2\cdot-\dfrac{5}{3}+4}=-\dfrac{17}{12}\)

\(A=\dfrac{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}{\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)}=\dfrac{\left(a+b+c+a\right)\left(b+a+b+c\right)\left(c+a+b+c\right)}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)}\)

\(A\ge\dfrac{2\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}.2\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}.2\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}=8\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

1. Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì: 

\(\dfrac{2}{4}\ne\dfrac{1}{m}\)

\(\Leftrightarrow m\ne\dfrac{4\cdot1}{2}\)

\(\Leftrightarrow m\ne2\) 

2. Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=8\\4x+my=2m+18\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x+2y=16\\4x+my=2m+18\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+y=8\\\left(m-2\right)y=2m+2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=8-\dfrac{2m+2}{m-2}\\y=\dfrac{2m+2}{m-2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3m-7}{m-2}\\y=\dfrac{2m+2}{m-2}\end{matrix}\right.\)

a) Để: 2x - 3y > 0 thì:

\(\Leftrightarrow2\cdot\dfrac{3m-7}{m-2}-3\cdot\dfrac{2m+2}{m-2}>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{6m-14}{m-2}-\dfrac{6m-6}{m-2}>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-8}{m-2}>0\)

\(\Leftrightarrow m-2< 0\)

\(\Leftrightarrow m< 2\) 

b) Để: \(\left\{{}\begin{matrix}x\in Z\\y\in Z\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3m-7}{m-2}\in Z\\\dfrac{2m+2}{m-2}\in Z\end{matrix}\right.\)

Mà: \(\dfrac{3m-7}{m-2}=\dfrac{3m-6-1}{m-2}=3-\dfrac{1}{m-2}\)

Để bt nguyên thì \(m-2\inƯ\left(1\right)=\left\{1;-1\right\}\Rightarrow m\in\left\{3;1\right\}\) (1)  

\(\dfrac{2m+2}{m-2}=\dfrac{2m-4+6}{m-2}=2+\dfrac{6}{m-2}\)

Để bt nguyên thì \(m-2\inƯ\left(6\right)=\left\{1;-1;2;-2;3;-3;6;-6\right\}\Rightarrow m\in\left\{3;1;4;0;5;-1;8;-4\right\}\) (2) 

Từ (1) và (2) ta có để hpt có nghiệm x,y ∈ Z thì \(m\in\left\{1;3\right\}\) 

b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(\Delta'>0\Leftrightarrow\left(-2\right)^2+1.\left(3k-1\right)>0\)

\(\Leftrightarrow3k+3>0\Leftrightarrow k< -1\)

Vậy k < -1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

c) Với k  < -1 phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(x_1=2+\sqrt{3k+3}\) và \(x_2=2-\sqrt{3k+3}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\x_1.x_2=1-3k\end{matrix}\right.\)

d) \(\left(x_1+x_2\right).3x_1x_2=4.3.\left(1-3k\right)=12-36k\)

CT denta: denta=b²-4ac