Do \(-1\le x;y;z\le1\)

\(\Rightarrow\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)+\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow2xy+2yz+2zx+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(-1;0;1\right)\) và các hoán vị

Bài 9. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi:

\(\Delta'=b'^2-ac>0\Leftrightarrow\left(-m\right)^2-1\left(2m-10\right)>0\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m+10>0\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2+9>0\left(LĐ\right)\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)

Theo định lí Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2m\left(1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2m-10\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Theo đề: \(2x_1+x_2=-4\Leftrightarrow x_1+\left(x_1+x_2\right)=-4\)

\(\Leftrightarrow x_1=-4-2m\left(3\right)\)

Thay (3) vào (1) và (2): \(\left\{{}\begin{matrix}-4-2m+x_2=2m\\\left(-4-2m\right)x_2=2m-10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=4m+4\\x_2=\dfrac{2m-10}{-4-2m}\end{matrix}\right.\)

Suy ra: \(4m+4=\dfrac{10-2m}{2m+4}\Leftrightarrow4m+4=\dfrac{5-m}{m+2}\)

\(\Leftrightarrow4m^2+13m+3=0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-\dfrac{1}{4}\\m=-3\end{matrix}\right.\).

Vậy: \(m\in\left\{-3;-\dfrac{1}{4}\right\}\)

Bài 10. Phương trình có hai nghiệm khi:

\(\Delta'=b'^2-ac>0\Leftrightarrow\left[-\left(m-1\right)\right]^2-m>0\)

\(\Leftrightarrow m^2-3m+1>0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\\m>\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)

Theo định lí Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m\end{matrix}\right.\)

Theo đề, \(x_1=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_2=m\end{matrix}\right.\Rightarrow x_2=3\)

Vậy: Nghiệm còn lại của phương trình là \(x_2=3.\)

a.

\(A=\left|x-3\right|+\left|x-4\right|+\left|x-7\right|\)

\(A=\left|x-3\right|+\left|7-x\right|+\left|x-4\right|\)

Áp dụng BĐT trị tuyệt đối:

\(A\ge\left|x-3+7-x\right|+\left|x-4\right|\)

\(\Rightarrow A\ge4+\left|x-4\right|\ge4\)

\(\Rightarrow A_{min}=4\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-3\right)\left(7-x\right)\ge0\\x-4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=4\)

Câu b đã giải bên dưới

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left|x-2\right|\ge0;\forall x\\y^{20}\ge0;\forall y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|x-2\right|\ge0\\\left|y^{20}+9\right|\ge9\end{matrix}\right.\) ;\(\forall x;y\)

\(\Rightarrow\left|x-2\right|+\left|y^{20}+9\right|\ge9\) ;\(\forall x;y\)

Đăngt thức xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left|x-2\right|=0\\y^{20}=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=0\end{matrix}\right.\)

1.

\(\Delta=\left(m+2\right)^2-4m=m^2+4>0;\forall m\)

\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm pb với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+2\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{1}{x_1+x_2-2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{1}{x_1+x_2-2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{m+2}{m}=\dfrac{1}{m+2-2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{m+2}{m}=\dfrac{1}{m}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m+2=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=-1\) (thỏa)

2.

\(\Delta'=\left(m-2\right)^2-2\left(2m-6\right)=\left(m-4\right)^2\)

Pt có 2 nghiệm pb khi \(\left(m-4\right)^2>0\Rightarrow m\ne4\)

Khi đó theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m+2\\x_1x_2=m-3\end{matrix}\right.\)

\(2x_1x_2-\left(x_1-x_2\right)^2=-1\)

\(\Leftrightarrow2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)^2+4x_1x_2=-1\)

\(\Leftrightarrow6\left(m-3\right)-\left(-m+2\right)^2=-1\)

\(\Leftrightarrow-m^2+10m-21=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=7\end{matrix}\right.\)  (thỏa mãn)

Bài 5:

\(x^2+2mx+2m-6=0\)

\(\text{Δ}=\left(2m\right)^2-4\left(2m-6\right)\)

\(=4m^2-8m+24\)

\(=4m^2-8m+4+20\)

\(=\left(2m-2\right)^2+20>=20>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-2m}{1}=-2m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2m-6}{1}=2m-6\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2=2x_1x_2+20\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-2x_1x_2=20\)

=>\(\left(-2m\right)^2-4\left(2m-6\right)=20\)

=>\(4m^2-8m+24-20=0\)

=>\(4m^2-8m+4=0\)

=>\(\left(2m-2\right)^2=0\)

=>2m-2=0

=>2m=2

=>m=1(nhận)

Câu 4:

a: \(2x^2-2x-m=0\)

\(\text{Δ}=\left(-2\right)^2-4\cdot2\cdot\left(-m\right)\)

\(=4+8m\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 8m+4>0

=>8m>-4

=>\(m>-\dfrac{1}{2}\)

b: Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-\left(-2\right)}{2}=\dfrac{2}{2}=1\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-m}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\left(1-x_1x_2\right)^2+4\cdot\left(x_1^2+x_2^2\right)=16\)

=>\(\left(1+\dfrac{m}{2}\right)^2+4\cdot\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]=16\)

=>\(\left(\dfrac{m+2}{2}\right)^2+4\left[1^2-2\cdot\dfrac{-m}{2}\right]=16\)

=>\(\dfrac{1}{4}\left(m^2+4m+4\right)+4\left(1+m\right)=16\)

=>\(\dfrac{1}{4}m^2+m+1+4+4m-16=0\)

=>\(\dfrac{1}{4}m^2+5m-11=0\)

=>\(m^2+20m-44=0\)

=>(m+22)(m-2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m+22=0\\m-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-22\left(loại\right)\\m=2\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

5.

\(\Delta'=1+2m\)

a.

Phương trình có 2 nghiệm pb khi:

\(1+2m>0\Rightarrow m>-\dfrac{1}{2}\)

b.

Khi pt có 2 nghiệm, theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1\\x_1x_2=-\dfrac{m}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\left(1-x_1x_2\right)^2+4\left(x_1^2+x_2^2\right)=16\)

\(\Leftrightarrow\left(1-x_1x_2\right)^2+4\left(x_1+x_2\right)^2-8x_1x_2=16\)

\(\Leftrightarrow\left(1+\dfrac{m}{2}\right)^2+4.1^2+4m=16\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{m^2}{4}+5m-11=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-22< -\dfrac{1}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

5.

\(\Delta'=m^2-\left(2m-6\right)=\left(m-1\right)^2+5>0;\forall m\)

Pt luôn có 2 nghiệm pb

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m\\x_1x_2=2m-6\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2=2x_1x_2+20\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2=4x_1x_2+20\)

\(\Leftrightarrow4m^2=4\left(2m-6\right)+20\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m+1=0\Rightarrow m=1\)

Giả sử \(A\left(x_0;y_0\right)\) là điểm cố định thuộc ĐTHS

Với mọi m ta có:

\(y_0=\left(m-1\right)x_0+m\)

\(\Leftrightarrow m\left(x_0+1\right)-\left(x_0+y_0\right)=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0+1=0\\x_0+y_0=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-1\\y_0=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A\left(-1;1\right)\) là điểm cố định thuộc ĐTHS

(d): y=(m-1)x+m

=mx-x+m

=m(x+1)-x

Tọa độ điểm cố định mà (d) luôn đi qua là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\y=-x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=-\left(-1\right)=1\end{matrix}\right.\)

a: Để d3//d2 thì \(\left\{{}\begin{matrix}m^2+1=2\\m\ne1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m^2=1\\m\ne1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m\in\left\{1;-1\right\}\\m\ne1\end{matrix}\right.\)

=>m=-1

b: Tọa độ giao điểm của d1 và d2 là:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+1=x+2\\y=x+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-x=2-1\\y=x+2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1+2=3\end{matrix}\right.\)

Thay x=1 và y=3 vào d3, ta được:

\(1\left(m^2+1\right)+m=3\)

=>\(m^2+m-2=0\)

=>(m+2)(m-1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m+2=0\\m-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-2\\m=1\end{matrix}\right.\)

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) là:

\(\left\{{}\begin{matrix}4x-3=3x-1\\y=3x-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}4x-3x=-1+3\\y=3x-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=3\cdot2-1=6-1=5\end{matrix}\right.\)

Thay x=2 và y=5 vào y=x+3, ta được:

\(2+3=5\)

=>5=5(đúng)

Vậy: (d1),(d2),(d3) đồng quy

a: Để hàm số y=(m-2)x+m+3 nghịch biến trên R thì m-2<0

=>m<2

b: Thay x=3 và y=0 vào y=(m-2)x+m+3, ta được:

3(m-2)+m+3=0

=>\(3m-6+m+3=0\)

=>\(4m-3=0\)

=>4m=3

=>\(m=\dfrac{3}{4}\)

c: Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y=-x+2 và y=2x-1 là:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-1=-x+2\\y=-x+2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3x=3\\y=-x+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1+2=1\end{matrix}\right.\)

Thay x=1 và y=1 vào y=(m-2)x+m+3, ta được:

\(1\left(m-2\right)+m+3=1\)

=>2m+1=1

=>2m=0

=>m=0