Giải hpt:
x^2 + y^2 − 3x + 4y = 1
3.x^2 − 2.y^2 − 9x − 8y = 3
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có hệ \(\hept{\begin{cases}2y\left(x^2-y^2\right)=3x\\x\left(x^2+y^2\right)=10y\end{cases}}\)
\(\Rightarrow20y^2\left(x^2-y^2\right)=3x^2\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3x^4-17x^2y^2+20y^4=0\Leftrightarrow\left(3x^4-12x^2y^2\right)-\left(5x^2y^2-20y^4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-4y^2\right)\left(3x^2-5y^2\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2=4y^2\\x^2=\frac{5}{3}y^2\end{cases}}\)
Với \(x^2=4y^2\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=2y\\x=-2y\end{cases}}\)
** \(x=2y\Rightarrow6y^3=6y\Rightarrow y=0;y=1;y=-1\Rightarrow x=0;x=2;x=-2\)
** \(x=-2y\Rightarrow y=0\Rightarrow x=0\)
Tương tự với TH còn lại
Gọi I là giao điểm của MN và AC.
Ta có: \(\widehat{IHO}=\widehat{OEI}=90°\)
\(\Rightarrow\)Tứ giác EIHO nội tiếp đường tròn.
\(\Rightarrow\)Tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆OHE nằm trên đường trung trực của EI.(*)
Ta có ∆AIH \(\approx\)∆AOE
\(\Rightarrow\)AH.AO = AE.AI (1)
Ta có: ∆AMB \(\approx\)AOM
\(\Rightarrow\)AM2 = AH.AO (2)
Ta lại có: ∆ABM \(\approx\)∆AMC
\(\Rightarrow\)AM2 = AB.AC (3)
Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\)AE.AI = AB.AC
Vì A,B,C,E cố định nên I cố định (**)
Từ (*), (**) suy ta tâm đường tròn ngoại tiếp ∆OHE nằm trên đường trung trực của EI.
PS: không chứng minh được nó nằm trên đường tròn nha b. Hình tự vẽ.
Ta có \(VT=\cot^2a-\cos^2a=\frac{\cos^2a}{\sin^2a}-\cos^2a=\frac{\cos^2a-\cos^2a.\sin^2a}{\sin^2a}\)
\(=\frac{\cos^2a\left(1-\sin^2a\right)}{\sin^2a}=\frac{\cos^2a.\cos^2a}{\sin^2a}=\cot^2a.\cos^2a=VP\left(đpcm\right)\)
Đề: Cho a > 0; b > 0 và a + b = 1.
Chứng minh rằng: \(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
~ ~ ~ ~ ~
Áp dụng BĐT \(x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\), ta có:
\(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2\)
\(=\frac{1}{2}\left(1+\frac{a+b}{ab}\right)^2\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}\right)^2\)
\(=\frac{25}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 0,5
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow ab+bc+ca=0\)
\(a+b+c=1\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=1\)
Ta có hệ \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2-3x+4y=1\\3x^2-2y^2-9x-8y=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x^2+3y^2-9x+12y=3\left(1\right)\\3x^2-2y^2-9x-8y=3\left(2\right)\end{cases}}}\)
Lấy (1)-(2) ta có \(5y^2+20y=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\\y=-4\end{cases}}\)
Với \(y=0\Rightarrow x^2-3x-1=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\\x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}\end{cases}}\)
Với \(y=-4\Rightarrow x^2-3x-1=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\\x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}\end{cases}}\)
Vậy hệ có 4 nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(0;\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right);\left(0;\frac{3-\sqrt{13}}{2}\right);\left(-4;\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right);\left(-4;\frac{3-\sqrt{13}}{2}\right)\)