\(\left\{{}\begin{matrix}\left|x\right|+4\left|y\right|=18\\3\left|x\right|+\left|y\right|=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\left|x\right|+12\left|y\right|=54\\3\left|x\right|+\left|y\right|=10\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}11\left|y\right|=44\\\left|x\right|+4\left|y\right|=18\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|y\right|=\dfrac{44}{11}=4\\\left|x\right|=18-4.4=2\end{matrix}\right.\\ Vậy:\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-2\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}y=4\\y=-4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\ Nên:\left(x;y\right)=\left\{\left(2;4\right);\left(-2;-4\right);\left(2;-4\right);\left(-2;4\right)\right\}\)

\(a,Đặt:\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{x-1}\left(x\ne1\right)\\b=\dfrac{1}{y+2}\left(y\ne-2\right)\end{matrix}\right.\\ \left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x-1}+\dfrac{1}{y+2}=4\\\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{1}{y+2}=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a+b=4\\2a-b=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6a+2b=8\\6a-3b=3\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5b=5\\2a-b=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=1\\a=\dfrac{1+1}{2}=1\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{x-1}=1\\b=\dfrac{1}{y+2}=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=1\\y+2=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\left(TM\right)\\y=-1\left(TM\right)\end{matrix}\right.\\ Vậy:\left(x;y\right)=\left(2;-1\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=m\\3x-2y=5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x+2y=2m\\3x-2y=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x=2m+5\\y=m-2x\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m+5}{7}\\y=\dfrac{3m-10}{7}\end{matrix}\right.\)

Để \(x>0;y< 0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2m+5}{7}>0\\\dfrac{3m-10}{7}< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-\dfrac{5}{2}\\m< \dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\dfrac{5}{2}< m< \dfrac{10}{3}\)

Theo hệ thức Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{5}{2}\\x_1x_2=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Giả sử pt bậc 2 cần tìm có các nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_3=\dfrac{x_1}{x_2+1}\\x_4=\dfrac{x_2}{x_1+1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=\dfrac{x_1}{x_2+1}+\dfrac{x_2}{x_1+1}\\x_3x_4=\left(\dfrac{x_1}{x_2+1}\right)\left(\dfrac{x_2}{x_1+1}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=\dfrac{x_1^2+x_2^2+x_1+x_2}{x_1x_2+x_1+x_2+1}=\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+x_1+x_2}{x_1x_2+x_1+x_2+1}\\x_3x_4=\dfrac{x_1x_2}{x_1x_2+x_1+x_2+1}\end{matrix}\right.\)

Thay số:

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=\dfrac{31}{16}\\x_3x_4=\dfrac{1}{8}\end{matrix}\right.\)

Theo định lý Viet đảo, \(x_3;x_4\) là nghiệm của:

\(x^2-\dfrac{31}{16}x+\dfrac{1}{8}=0\Leftrightarrow16x^2-31x+2=0\)

Lời giải:

Theo định lý Viet: $x_1+x_2=\frac{5}{2}=2,5; x_1x_2=\frac{1}{2}=0,5$

Khi đó:

\(\frac{x_1}{x_2+1}.\frac{x_2}{x_1+1}=\frac{x_1x_2}{(x_2+1)(x_1+1)}=\frac{x_1x_2}{x_1x_2+(x_1+x_2)+1}=\frac{0,5}{0,5+2,5+1}=\frac{1}{8}\)

\(\frac{x_1}{x_2+1}+\frac{x_2}{x_1+1}=\frac{x_1^2+x_1+x_2^2+x_2}{(x_1+1)(x_2+1)}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+(x_1+x_2)}{x_1x_2+(x_1+x_2)+1}\)

\(=\frac{2,5^2-2.0,5+2,5}{0,5+2,5+1}=\frac{31}{16}\)

Khi đó áp dụng định lý Viet đảo thì $\frac{x_1}{x_2+1}$ và $\frac{x_2}{x_1+1}$ là nghiệm của pt:

$x^2-\frac{31}{16}x+\frac{1}{8}=0$

\(\Delta=\left(2m-3\right)^2-4\left(2m-4\right)=\left(2m-5\right)^2\ge0;\forall m\)

Pt luôn có 2 nghiệm với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-3\\x_1x_2=2m-4\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2m-3}{2m-4}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow4m-6=2m-4\)

\(\Leftrightarrow2m=2\)

\(\Leftrightarrow m=1\) (thỏa mãn)

\(x+y=35\Rightarrow y=35-x\)

Thế vào \(x^2+y^2=625\)

\(\Rightarrow x^2+\left(35-x\right)^2=625\)

\(\Leftrightarrow2x^2-70x+600=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=15\Rightarrow y=20\\x=20\Rightarrow y=15\end{matrix}\right.\)

Pt có nghiệm khi:

\(\Delta'=m^2-\left(m^2-3m+9\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow3m-9\ge0\)

\(\Rightarrow m\ge3\)

\(\Delta=\left(5m-2\right)^2-4m\left(2m+10\right)=17m^2-60m+4\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{5m-2}{m}\\x_1x_2=\dfrac{2m+10}{m}\end{matrix}\right.\)

a.

Phương trình có 2 nghiệm đối nhau

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\m\ne0\\x_1+x_2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}17m^2-60m+4>0\left(1\right)\\m\ne0\\\dfrac{5m-2}{m}=0\end{matrix}\right.\)

Từ \(\dfrac{5m-2}{m}=0\Rightarrow5m-2=0\Rightarrow m=\dfrac{2}{5}\)

Thế vào (1) kiểm tra thấy ko thỏa mãn.

Vậy ko tồn tại m thỏa mãn yêu cầu

b.

Pt có 2 nghiệm là nghịch đảo của nhau khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\m\ne0\\x_1x_2=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}17m^2-60m+4>0\\m\ne0\\\dfrac{2m+10}{m}=1\end{matrix}\right.\)

Từ \(\dfrac{2m+10}{m}=1\Rightarrow2m+10=m\)

\(\Rightarrow m=10\)

Thế vào \(17m^2-60m+4>0\) kiểm tra thấy thỏa mãn

Vậy \(m=10\)

Bài 5 chỗ bên vế trái là \(18m+2\) hay \(19m+2\) em nhỉ? Chữ khó đọc quá.

6.

\(\Delta=m^2-4\left(m-1\right)=\left(m-2\right)^2\)

Pt có 2 nghiệm pb khi \(\left(m-2\right)^2>0\Rightarrow m\ne2\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

\(P=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(P=m^2-2\left(m-1\right)=m^2-2m+2\)

\(P=\left(m-1\right)^2+1\ge1;\forall m\)

Dấu "=" xảy ra khi \(m-1=0\Rightarrow m=1\)

5.

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2+2\right)=2m-1\)

Pt có 2 nghiệm pb khi \(2m-1>0\Rightarrow m>\dfrac{1}{2}\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m^2+2\end{matrix}\right.\)

Do \(x_1\) là nghiệm của pt nên:

\(x_1^2-2\left(m+1\right)x_1+m^2+2=0\)

\(\Rightarrow x_1^2=2\left(m+1\right)x_1-m^2-2\)

Thế vào bài toán:

\(x_1^2+2\left(m+1\right)x_2=12m+2\)

\(\Leftrightarrow2\left(m+1\right)x_1-m^2-2+2\left(m+1\right)x_2=12m+2\)

\(\Leftrightarrow2\left(m+1\right)\left(x_1+x_2\right)-m^2-12m-4=0\)

\(\Leftrightarrow4\left(m+1\right)^2-m^2-12m-4=0\)

\(\Leftrightarrow3m^2-4m=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0< \dfrac{1}{2}\left(loại\right)\\m=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

Gọi số cần tìm có dạng là \(\overline{ab}\)

Lấy số đó trừ hai lần tổng các chữ số của nó thì được kết quả là 51 nên ta có:

\(\overline{ab}-2\left(a+b\right)=51\)

=>\(10a+b-2a-2b=51\)

=>8a-b=51(1)

lấy hai lần chữ số hàng chục cộng với ba lần chữ số hàng đơn vị thì được 29 nên 2a+3b=29(2)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}8a-b=51\\2a+3b=29\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}24a-3b=153\\2a+3b=29\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}26a=182\\8a-b=51\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=7\\b=8a-51=8\cdot7-51=56-51=5\end{matrix}\right.\)

Vậy: Số cần tìm là 75