\(\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}=5\)(*)

đkxđ \(\hept{\begin{cases}x+1\ge0\\2x+3\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-1\\x\ge-\frac{3}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow x\ge-1\)

(*) \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}\right)^2=25\)\(\Leftrightarrow x+1+2x+3+2\sqrt{\left(x+1\right)\left(2x+3\right)}=25\)

\(\Leftrightarrow3x+4+2\sqrt{2x^2+3x+2x+3}=25\)\(\Leftrightarrow2\sqrt{2x^2+5x+3}=21-3x\)

\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{2x^2+5x+3}\right)^2=\left(21-3x\right)^2\)\(\Leftrightarrow4\left(2x^2+5x+3\right)=441-126x+9x^2\)

\(\Leftrightarrow8x^2+20x+12=441-126x+9x^2\)\(\Leftrightarrow x^2-146x+429=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x-143x+429=0\)\(\Leftrightarrow x\left(x-3\right)-143\left(x-3\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x-143\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\x=143\end{cases}}\)(nhận)

Chẳng hiểu làm sai chỗ nào mà x = 143, trong khi x = 143 thì VT = 29 \(\ne\)5. Chỉ có x = 3 thỏa thôi.

Vì \(\Delta ABC\)vuông tại A nội tiếp đường tròn (O;R) nên O là trung điểm của BC.

\(\Rightarrow BC=2OB=2R=2.3=6\left(cm\right)\)

\(\Delta ABC\)vuông tại A \(\Rightarrow AC=BC.\sin B\)\(=6.\frac{2}{3}=4\left(cm\right)\)

\(\Delta ABC\)vuông tại A \(\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow AB^2=BC^2-AC^2=6^2-4^2=36-16=20\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{20}\left(cm\right)\)(1)

Ta có \(AC=4cm=\sqrt{16}cm\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AB>AC\)

Xét đường tròn (O) có 2 dây AB, AC và \(AB>AC\left(cmt\right)\Rightarrow\)Dây AB gần tâm hơn dây AC (liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây)

b) Dễ thấy O là trung điểm BC và OI//AC\(\left(\perp AB\right)\)\(\Rightarrow\)I là trung điểm AB\(\Rightarrow\)OI là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow OI=\frac{AC}{2}=\frac{4}{2}=2\left(cm\right)\)

Mặt khác I là trung điểm AB \(\Rightarrow IB=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{20}}{2}=\sqrt{5}\left(cm\right)\)

Xét đường tròn (O) 

sinB = \(\frac{AC}{BC}=\frac{2}{3}\)(*) 

mà BC là đường kình, O là trung điểm => OC = 3 cm => BC = 2OC = 6 cm 

Thay vào (*) ta được : \(\frac{AC}{6}=\frac{2}{3}\Rightarrow AC=4\)cm 

Theo định lí Pytago tam giác ABC vuông tại A 

\(AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{36-16}=2\sqrt{5}\)cm

Gọi d(O;AB) = OH ; d(O;AC) = OK 

Ta có AC > AB ( 4 > \(2\sqrt{5}\)) => OK < OH 

b, đề có sai ko bạn 

Nếu ABC vuông tại A => AC vuông AB 

OH vuông AB => OH // AC mà qua O kẻ đường thẳng song song AC cắt AB tại I ??? 

Em ko biết tại vì em mới học lớp 4

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp. 

\(\sqrt{1^3+2^3+3^3+...+n^3}=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)(1) 

Dễ thấy (1) đúng với \(n=1\).

Giả sử (1) đúng với \(n=k\ge1\), tức là: \(\sqrt{1^3+2^3+3^3+...+k^3}=\frac{k\left(k+1\right)}{2}\)

Ta sẽ chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\), tức là \(\sqrt{1^3+2^3+3^3+...+\left(k+1\right)^3}=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\).

Thật vậy, ta có: 

\(1^3+2^3+3^3+...+\left(k+1\right)^3=\left[\frac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2+\left(k+1\right)^3\)

\(=\left(k+1\right)^2\left(\frac{k^2}{4}+k+1\right)=\left(k+1\right)^2\left[\frac{1}{2}\left(k+2\right)\right]^2\)

\(=\left[\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\)

suy ra (1) đúng với \(n=k+1\).

Theo nguyên lí quy nạp toán học ta có đpcm. 

thế thì bố ai mà biết được

T=a3a2+2b2+c2+b3b2+2c2+a2+c3c2+2a2+b2T=aa2+c2+2(a2+b2)+bb2+a2+2(b2+c2)+cc2+b2+2(c2+a2)≤a2ac+4ab+b2ab+4bc+c2bc+4ca=12(1c+2b+1a+2c+1b+2c)≤12(1b+b+c+1a+c+c+1c+c+b)≤118(1a+1a+1b+1b+1b+1c+1c+1c+1a)=16(1a+1b+1c)=16(ab+bc+caabc)≤a2+b2+c26abc=3abc6abc=12T=a3a2+2b2+c2+b3b2+2c2+a2+c3c2+2a2+b2T=aa2+c2+2(a2+b2)+bb2+a2+2(b2+c2)+cc2+b2+2(c2+a2)≤a2ac+4ab+b2ab+4bc+c2bc+4ca=12(1c+2b+1a+2c+1b+2c)≤12(1b+b+c+1a+c+c+1c+c+b)≤118(1a+1a+1b+1b+1b+1c+1c+1c+1a)=16(1a+1b+1c)=16(ab+bc+caabc)≤a2+b2+c26abc=3abc6abc=12

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi {a2+b2+c2=3abca=b=c⇔3a2=3a3⇔a=1⇒a=b=c=1

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^3+30xy=2000\)

\(\Leftrightarrow2\left[\left(x+y\right)^3-1000\right]-3xy\left(x+y-10\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+y-10\right)\left[\left(x+y\right)^2-10\left(x+y\right)+100\right]-3xy\left(x+y-10\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-10\right)\left[2\left(x+y\right)^2-20\left(x+y\right)+200-3xy\right]=0\)

\(\Leftrightarrow x+y=10\)

Do:

\(2\left(x+y\right)^2-20\left(x+y\right)+200-3xy\)

\(=\left(x+y-10\right)^2+\left(x+y\right)^2-3xy+100\)

\(=\left(x+y-10\right)^2+\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+100>0\)