Vì tổng các số ở hàng ngang, cột dọc, và đường chéo của hình vuông đều bằng nhau nên số ở vị trí c là:

                33 + 37 - 34 = 36

Tổng của các số ở mỗi hàng ngang, mỗi cột dọc, mỗi đường chéo bằng nhau và bằng:

                35 + 36 + 37 = 108

Số ở vị trí a là: 108 - 35 - 34 = 39

Số ở vị trí b là: 108 - 37 - 39 = 32

Số ở vị trí e là: 108 - 33 - 37 = 38

Số ở vị trí d là: 40 Ta có bảng sau:

Ta có sơ đồ:

Theo sơ đồ ta có: 

Số thứ nhất là: 123: (4  - 1) = 41

Số thứ hai là: 41 \(\times\) 2 = 82

Số thứ ba là: 41 + 123 = 164

Tổng ba số là: 41 + 82 + 164 = 287

Đáp số: 287 

À mình nhầm 1 chút. Tích \(P=\left(1+1\right)\left(2+1\right)\left(3+1\right)...\left(2023+1\right)\) và do đó nếu \(a_0\) là số cuối cùng trên bảng thì\(\dfrac{1}{a_0}+1=\left(1+1\right)\left(2+1\right)\left(3+1\right)...\left(2023+1\right)\) hay \(a_0=\dfrac{1}{2.3.4...2024-1}\). Vậy số cuối cùng là \(\dfrac{1}{2.3.4...2024-1}\)

 Nếu trên bảng có các số \(a_1,a_2,...,a_n\) thì ta xét tích \(P=\left(\dfrac{1}{a_1}+1\right)\left(\dfrac{1}{a_2}+1\right)...\left(\dfrac{1}{a_n}+1\right)\). Sau mỗi bước, ta thay 2 số \(a_i,a_j\) bằng số \(a_k=\dfrac{a_ia_j}{a_i+a_j+1}\). Khi đó \(\dfrac{1}{a_k}+1=\dfrac{a_i+a_j+1}{a_ia_j}+1=\dfrac{1}{a_i}+\dfrac{1}{a_j}+\dfrac{1}{a_ia_j}+1\) \(=\dfrac{1}{a_j}\left(\dfrac{1}{a_i}+1\right)+\left(\dfrac{1}{a_i}+1\right)\) \(=\left(\dfrac{1}{a_i}+1\right)\left(\dfrac{1}{a_j}+1\right)\)

 Như vậy, sau phép biến đổi ban đầu, tích\(P=\left(\dfrac{1}{a_1}+1\right)\left(\dfrac{1}{a_2}+1\right)...\left(\dfrac{1}{a_k}+1\right)...\left(\dfrac{1}{a_n}+1\right)\)

\(P=\left(\dfrac{1}{a_1}+1\right)\left(\dfrac{1}{a_2}+1\right)...\left(\dfrac{1}{a_i}+1\right)\left(\dfrac{1}{a_j}+1\right)...\left(\dfrac{1}{a_n}+1\right)\)

 Là không thay đổi. Vì vậy, số cuối cùng còn lại trên bảng chính là giá trị của tích P. Lại có 

\(P=\left(1+1\right)\left(\dfrac{1}{2}+1\right)\left(\dfrac{1}{3}+1\right)...\left(\dfrac{1}{2023}+1\right)\)

\(P=2.\dfrac{3}{2}.\dfrac{4}{3}...\dfrac{2024}{2023}=2024\)

Như vậy, số cuối cùng trên bảng sẽ bằng 2024.

a, Xét tam giác vuông EBC vuông tại E và  CI = IB

 ⇒ IE = IC = IB ⁽¹⁾ ( vì trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng \(\dfrac{1}{2}\) cạnh huyền)

Xét tam giác vuông BCF vuông tại F và IC =IB 

 ⇒IF = IC = IB ⁽²⁾ (vì trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng \(\dfrac{1}{2}\) cạnh huyền) 

Từ (1) và (2) ta có: 

IE = IF = IB = IC 

Vậy bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn tâm I bán kính bằng \(\dfrac{1}{2}\) BC (đpcm)

b, Xét \(\Delta\)AFC và \(\Delta\)AEB có:

\(\widehat{CAF}\)  chung ; \(\widehat{AFC}\) = \(\widehat{AEB}\) = 90⁰ 

⇒ \(\Delta\)AFC  \(\sim\) \(\Delta\)AEB   (g-g)

⇒ \(\dfrac{AF}{AE}\) = \(\dfrac{AC}{AB}\) (theo định nghĩa hai tam giác đồng dạng)

⇒AB.AF = AC.AE (đpcm)

Xét tam giác vuông AEH vuông tại E và KA = KH 

⇒ KE = KH ( vì trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng \(\dfrac{1}{2}\) cạnh huyền)

⇒\(\Delta\)EKH cân tại K ⇒ \(\widehat{KEH}\) = \(\widehat{EHK}\) 

\(\widehat{EHK}\) = \(\widehat{DHB}\) (vì hai góc đối đỉnh)

 ⇒ \(\widehat{KEH}\) = \(\widehat{DHB}\) ( tc bắc cầu) (3)

Theo (1) ta có: IE = IB ⇒ \(\Delta\) IEB cân tại I 

⇒ \(\widehat{IEB}\) = \(\widehat{IBE}\)  (4)

Cộng vế với vế của (3) và(4)

Ta có: \(\widehat{KEI}\) = \(\widehat{KEH}\) + \(\widehat{IEB}\) =  \(\widehat{DHB}\) + \(\widehat{IBE}\)  = \(\widehat{DHB}\) + \(\widehat{DBH}\)

        Vì tam giác DHB vuông tại D nên \(\widehat{DHB}\) + \(\widehat{DBH}\)  = 180⁰ - 90⁰ = 90⁰

 ⇒\(\widehat{KEI}\)  = 90⁰

         IE \(\perp\) KE (đpcm)

= ( 100 - 99) + (98 - 97) + (96 -95) +.. + ( 4 - 3) + 2 

= 1 + 1 + 1 +... + 1 + 2  ( 49 số 1)

= 49 + 2 

= 51

65 x y + 35 x y = 6000

( 65 + 35 ) x y = 6000

100 x y = 6000

          y = 6000 : 100

           y = 60 .

Vậy y = 60.

Để giải phương trình trên, ta thực hiện các bước sau:

Đặt y = z, phương trình trở thành: 65z + 35z = 6000 100z = 6000 z = 6000/100 z = 60

Vậy y = z = 60.

Tóm lại, giá trị của y là 60.

\(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+4}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\) 

= \(\dfrac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+2\right)+\left(\sqrt{6}+\sqrt{8}+2\right)}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+2}\)

= \(\dfrac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+2\right)+\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+2+\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+2\right)}\)

= \(\dfrac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+2\right)\times\left(1+\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+2\right)}\)

= 1 + \(\sqrt{2}\) 

`@` `\text {Ans}`

`\downarrow`

`@` CT tính P của hình thang:

`a + b + c + d` (trong đó, a, b, c, d là các cạnh đáy và cạnh bên của hình thang).

1/2(a+b).2