Vi tam giac AMB can tai A nen AM=AB ma AB=DC ( ABCD la hbh ) suy ra AM=AB=CD

tuong tu BC=CN=AD

Ta co DM=AD+AM

         DN=DC+CN

Ma AD=CN va AM=CD nen DM=DN suy ra tam giac DMN can tai D (dpcm)

Giả sử \(\Delta\)ABC có hai đường trung tuyến BE và CF vuông góc với nhau, AD là đường trung tuyến thứ ba. Ta cần chứng minh AD^2 = BE^2 + CF^2

Trên tia đối của tia EF lấy điểm K sao cho EF = FK

Tứ giác AKCF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm E của mỗi đường nên AKCF là hình bình hành => AK//FC. Mà FC\(\perp\)BE nên BE\(\perp\)AK (*)

Ta có: F là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC nên EF là đường trung bình của\(\Delta\)ABC => EF =  1/2BC và EF//BC hay EK//BD (1)

Mà BD = 1/2BC (gt) nên EF = BD => EK = BD (do EF = EK theo cách chọn điểm phụ)           (2)

Từ (1) và (2) suy ra EKDB là hình bình hành => EB // DK (**)

Từ (*) và (**) suy ra DK \(\perp\)AK => \(\Delta\)AKD vuông tại K => AK^2 + KD^2 = AD^2 (theo định lý Py-ta-go)

Mà AK = FC (do AKCF là hình bình hành) và KD = BE (do EKDB là hình bình hành) nên AD^2 = BE^2 + CF^2 (đpcm)

Cho abc=0 thì không chứng minh được, a+b+c=0 là đủ rồi

Ta có: a+b+c=0 => a+b=-c

=>(a+b)²=(-c)²

=>a²+2ab+b²=c²

=>a²+b²-c²=-2ab

Tương tự ta có: b²+c²-a²=-2bc ; c²+a²-b²=-2ca

=>\(\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}=-\frac{1}{2bc}-\frac{1}{2ca}-\frac{1}{2ab}=\frac{a+b+c}{-2abc}=0\) (đpcm)

Cho \(abc=0\)thì không chứng minh được, \(a+b+c=0\)là đủ rồi.

Ta có: \(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2=\left(-c\right)^2\)

\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2=c^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2-c^2=-2ab\)

Tương tự ta có: \(b^2+c^2-a^2=-2ab;c^2+a^2-b^2=-2ca\)

\(\Rightarrow\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}=-\frac{1}{2bc}-\frac{1}{2ca}-\frac{1}{2ab}=\frac{a+b+c}{-2abc}=0\)

      \(\left(2x-1\right)^2-\left(x+3\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\text{ }\left(2x-1\right)-\left(x+3\right)=0\)

\(\Rightarrow\text{ }2x-1-x-3=0\)

\(\Rightarrow\text{ }\left(2-1\right)\cdot x-\left(1+3\right)=0\)

\(\Rightarrow\text{ }1\cdot x-4=0\)

\(\Rightarrow\text{ }1\cdot x=0+4\)

\(\Rightarrow\text{ }1\cdot x=4\)

\(\Rightarrow\text{ }\text{ }x=4\)

\(\left(2x-1\right)^2-\left(x+3\right)^2=0\)

\(\left(2x-1-x-3\right).\left(2x-1+x+3\right)=0\)

\(\left(x-4\right).\left(3x+2\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x-4=0\\3x+2=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=4\\x=-\frac{2}{3}\end{cases}}}\)

Vậy \(\orbr{\begin{cases}x=4\\x=-\frac{2}{3}\end{cases}}\)

bn ơi hình như đề sai!

Áp dụng đường trung bình là xong

a, Hình thang ABCD có: \(AM=MD\left(gt\right)\)

                                       \(AN=NC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\)MN là đường trung bình của hình thang ABCD \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}MN//AB//CD\\MN=\frac{AB+CD}{2}\end{cases}\Leftrightarrow6=\frac{AB+8}{2}\Leftrightarrow AB=4\left(cm\right)}\)

b, \(\Delta ABD\)có: \(MP//AB\left(cmt\right)\)

                           \(AM=MD\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow DP=PB\)

\(\Delta ABD\)có: \(AM=MD\left(gt\right)\)

                        \(DP=PB\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\)MP là đường trung bình của \(\Delta ABD\Rightarrow MP=\frac{1}{2}AB\Leftrightarrow MP=\frac{1}{2}.4=2\left(cm\right)\)

Chứng minh tương tự ta có: \(QN=2\left(cm\right)\)

Ta có: \(MP+PQ+QN=MN\Leftrightarrow2+PQ+2=6\Leftrightarrow PQ=2\left(cm\right)\)

Cơ mà thấy câu b cứ thấy nó cứ sao sao á, nếu sai thì báo nhá.