help me

(A+b+c)^2_(a+b_c)^2

=(a+b+c_a_b+c)(a+b+c+a+b-c)

=(c+c)(a+b+a+b)

=2c×2(a+b)

=4c(a+b)

Vậy đẳng thức được chứng minh

a) x(y-z) + y(z-x) + z(x-y)

= xy - xz + zy - xy + xz - yz

= ( xy - xy ) - ( xz - xz ) + ( zy - yz )

= 0 - 0 + 0

= 0 ( đpcm )

b) x(y+z-yz) - y(z+x-xz) + z(y-x)

= xy + xz - xyz - yz - xy + xyz + zy - zx

= ( xy - xy ) + ( xz - zx ) - ( xyz - xyz ) - ( yz - zy )

= 0 + 0 - 0 - 0

= 0 ( đpcm )

a) \(x^2-x+1=x^2-\frac{1}{2}.x.2+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)

Vì \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\left(\forall x\right)\) và \(\frac{3}{4}>0\)

Nên \(x^2-x+1\) luôn dương với mọi giá trị của x

b) \(x^2+x+2=x^2+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\ge\frac{7}{4}>0\)

Nên x² + x + 2 luôn dương với mọi giá trị của x

c) \(-a^2+a-3=-\left(a^2-a+3\right)=-\left(a^2-2.a.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)-\frac{11}{4}\)

                                             \(=-\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{-11}{4}\)

Vì \(\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\left(\forall a\right)\Rightarrow-\left(a-\frac{1}{2}\right)^2< 0\left(\forall a\right)\)

Và \(\frac{-11}{4}< 0\)

Nên -a² + a - 3 luôn âm với mọi giá trị của a

a) x^2 - x+1

=x^2 - 2.x.1/2 + (1/2)^2-(1/2)^2 +1

=(x-1/2)^2 - 1/4 +1

=(x-1/2)^2 + 3/4

ta thấy ; (x-1/2)^2 lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x thuộc R

     (=)   (x-1/2)^2 + 3/4 >0 với mọi x thuộc R

hay x^2 -x + 1 luôn dương

b) x^2 + x +2

=x^2 + 2.x.1/2 + ( 1/2)^2 -(1/2)^2 +2

= ( x+1/2)^2 -1/4 +2

= (x+1/2)^2 +7/4

ta thấy : (x + 1/2)^2 lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x thuộc R

       (=) (x + 1/2)^2  + 7/4 > 0 với mọi x thuộc R

hay x^2 + x + 2 luôn dương

c)-a^2 + a -3 

= -( a^2 -a +3 )

= - (a^2-2a1/2+<1/2>^2 -<1/2>^2 + 3 )

= - ( <a-1/2>^2 -1/4 +3)

= - ( <a-1/2>^2 +11/4) 

= -(a-1/2)^2 -11/4

ta thấy : - (a-1/2)^2 nhỏ hơn hoặc bằng 0 với mọi x thuộc R 

          (=) -(a-1/2)^2 - 11/4 < 0 với mọi x thuộc R

hay -a^2 + a -3 luôn âm

d) xin lỗi mình chưa giải kịp 

Trong hình thang ABCD có: AE=ED(...)

                                            BF=FC(...)

suy ra EF là đường trung bình của hình thang ABCD

   suy ra EF//AB//DC suy ra EF//CD (1)

Trong tam giác ADC có: AE=ED(..)

                                       AM=MC(...)

suy ra EM là đường trung bình của tam giác ADC

suy ra EM//CD (2)

Trong tam giác BDC co BN=ND(...)

                                      BF=FC(...)

suy ra FN là đường trung bình của tam giác BDC

suy ra NF//CD(3)

Từ (1);(2) và (3) suy ra

E;N;M;E thẳng hàng

Vì EM là đường trung bình của tam giác ADC (cmt) nên \(EM=\frac{1}{2}CD\)

Trong tam giác ABD có: AE=DE(...)

                                      DN=BN(....)

do đó EN là đường trung bình của tam giác ABD

\(\Rightarrow EN=\frac{1}{2}AB\)

Ta có NE+MN=EM

\(\Rightarrow MN=EM-NE=\frac{1}{2}CD-\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\left(CD-AB\right)\)

ta có

\(\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{a+c}+1+\frac{c}{a+b}+1\)

\(=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{b+a+c}{a+c}+\frac{c+a+b}{a+b}\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\)

áp dụng bất đẳng thức cauchy -schwarz dạng engel

\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)9}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\)

dấu "=" xảy ra khi a=b=c

vậy \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{3}{2}\Rightarrow a=b=c\)

Mình chưa học bất đẳng thức cauchy