Ta có : \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2009}{ab+bc+ca}\)

\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{2007}{ab+bc+ca}\)

Áp dụng bđt Cauchy Schwaz dạng Engel ta có : 

\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}++\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}\)

\(=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\le\frac{9}{3^2}=1\)(1)

Ta lại có : \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\right)\ge3ab+3bc+3ac\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\Leftrightarrow9\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)

\(\Rightarrow ab+ac+bc\le3\Rightarrow\frac{2007}{ab+ac+bc}\ge\frac{2007}{3}=669\)(2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được :

\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+ac+bc}+\frac{2007}{ab+ac+bc}\ge669+1=670\)

Hay \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2009}{ab+bc+ac}\ge670\)(đpcm) (Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1)

Ta có: $(x-y{)}^2=(x+y{)}^2-4xy={201}^2-4xy$

Như thế, để tìm GTNN,GTLN của $xy$, tương đương với việc ta tìm GTLN,GTNN của $A=(x-y{)}^2=(|x-y|{)}^2$ hay cần tìm GTLN,GTNN của $|x-y|$

Không mất tính tổng quát giả sử: $x\ge y$ thì: $x\ge 101$; $y\le 100$

Khi đó: $|x-y|=x-y=x+y-2y=201-2y$

Ta có: $1\le y\le 100$ nên: $1\le |x-y|=201-2y\le 199$

Lập luận đi ngược lại thì tìm được các cực trị

Ta có:$P=x^3+y^3+2xy=(x+y{)}^3-3xy(x+y)+2xy={201}^3-601xy$

Đặt $S=xy=x(201-x)$

Dễ có:$1\le x\le 200$

$S=200-(x-1)(x-200)\ge 0\Rightarrow S_{min}=200$

Không mất tính TQ giả sử $x\le y\Rightarrow x\le 100$

$S=100.101-(x-100)(x-101)\le 100.101\Rightarrow S_{max}=100.101$

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đt tâm O đường kính AH cắt AB tại M, AC tại N.

   1. Chứng minh rằng MN là đường kính của đt O và tứ giác BMNC nội tiếp.

   2. Gọi I là trung điểm của BC, lấy P là điểm đối xứng vs A qua I, gọi Q là trung điểm của HP gọi K là giao điểm của MN và AI.

         a, Chứng minh rằng AI vuông góc vs MN

         b, Chứng minh rằng Q là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC

bn đăng những câu này ít người trả lời tử tế lắm ha

5-x=24

x=5-24

x=-19

5-x=24

x=5-24

x=-19

Ai trên 10 điểm hỏi đáp thì mình nha mình đang cần gấp chỉ còn 59 điểm là tròn rồi mong các bạn hỗ trợ mình sẽ đền bù xứng đáng

Tứ giác ABCD có góc  A= góc D = 90 độ. => ABCD là hình thang vuông Từ B kẻ BH vuông góc CD . Bh=AD= 3 cm đoạn  sau tự làm 

Nguyễn Dũng vậy tính diện tích tứ giác thì lm ta phải làm thế nào??