Ta có:
$\angle ADC = \angle ADB = \angle BEC$ (do $AD \parallel BE$)
$\angle ACD = \angle ABD = \angle BEC$ (do $AD \parallel BE$)
Vậy tam giác ADC đồng dạng tam giác BEC.

b. Ta có:
$\angle HEB = \angle HCB = \angle HCA = \angle HDA$
Vậy tam giác HEB đồng dạng tam giác HDA.
Do đó, $\frac{HE}{HA} = \frac{HB}{HD}$
Vậy $HE \cdot HB = HA \cdot HD$

c. Ta có:
$\angle ACF = \angle ACH = \angle ABH = \angle ABF$
Vậy tam giác ACF đồng dạng tam giác ABF.
Do đó, $\frac{AF}{AH} = \frac{AB}{AC}$
Vậy $AF \cdot AB = AH \cdot AC$
Nhưng ta có $AC = AD$, nên $AF \cdot AB = AH \cdot AD$

d. Ta có:
$\frac{HD}{HA} + \frac{HE}{BE} + \frac{HF}{CF} = \frac{HB}{HA} + \frac{HE}{BE} + \frac{HF}{AF} = \frac{HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AF}{HA \cdot BE}$
Vậy ta cần chứng minh $HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AF = HA \cdot BE$
Ta có:
$HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AF = HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot (AH - HF) = HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AH - HF^2 = HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AH - (HA^2 - AF^2) = HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AH - HA^2 + AF^2 = HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AH - HA^2 + (HA \cdot AB - AH^2) = HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AH - HA^2 + HA \cdot AB - AH^2 = HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AH - AH^2 + HA \cdot AB - AH^2 = HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AH - 2AH^2 + HA \cdot AB = HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AH - 2AH^2 + HA \cdot AD = HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AH - 2HA \cdot HD + HA \cdot AD = HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AH - HA \cdot (2HD - AD) = HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AH - HA \cdot AD + HA \cdot AD = HB \cdot BE + HE \cdot HA + HF \cdot AH = HA \cdot BE$
Vậy $\frac{HD}{HA} + \frac{HE}{BE} + \frac{HF}{CF} = 1$

Khi x = 100 

<=> x + 1 = 101

B = x⁸ - (x + 1)x⁷ + (x + 1)x⁶ - ... - (x + 1)x +  25 

= x⁸ - x⁸ - x⁷ + x⁷ + x⁶ - ... - x² - x  + 25 

= - x + 25 =  -75 

Lời giải:
a. $MN\parallel BC$ nên theo định lý Talet:

$\frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AC}=\frac{AM}{AB}=\frac{1}{2}(1)$

$\Rightarrow N$ là trung điểm $AC$

$NP\parallel AB$ nên theo định lý Talet:
$\frac{NP}{AB}=\frac{CP}{CB}=\frac{CN}{CA}=\frac{1}{2}(3)$

$\Rightarrow  P$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow \frac{BP}{BC}=\frac{1}{2}(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow \frac{MN}{BC}=\frac{BP}{BC}=\frac{1}{2}\Rightarrow MN=BP$

Từ $(1); (3)\Rightarrow \frac{NP}{AB}=\frac{AM}{AB}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow NP=AM$. Mà $AM=BM$ nên $NP=BM$

b.

$MN\parallel BC$ nên $\widehat{ANM}=\widehat{NCP}$ (đồng vị) 

$AN=NC$ (do $N$ là trung điểm $AC$)

$MN=PC$ (cùng = BP)

$\Rightarrow \triangle AMN=\triangle NPC$ (c.g.c)

Hình vẽ:

bạn phải nêu rõ 2 đáy của h thang mình mới tính đc

- Ta có: \(x^3-1=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(x^3-1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\)

- Áp dụng hệ quả nhị thức Newton ta có: \(x^n-1⋮x-1\) với \(n\in N\).

- Vì \(n\) không chia hết cho \(3\) \(\Rightarrow n\) có dạng \(3k+1\) hoặc \(3k+2\) \(\left(k\in N\right)\)

- Với \(n=3k+1\) thì:

\(x^{2n}+x^n+1=x^{2\left(3k+1\right)}+x^{3k+1}+1=x^{6k+2}+x^{3k+1}+1=x^{3k+2}\left(x^{3k}-1\right)+x^{3k}\left(x^2+x+1\right)-\left(x^{3k}-1\right)\)

- Do \(\left\{{}\begin{matrix}x^{3k+2}\left(x^{3k}-1\right)⋮\left(x^{3k}-1\right)⋮\left(x^3-1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\\x^{3k}\left(x^2+x+1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\\\left(x^{3k}-1\right)⋮\left(x^3-1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow x^{3k+2}\left(x^{3k}-1\right)+x^{3k}\left(x^2+x+1\right)-\left(x^{3k}-1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\)

hay \(x^{2n}+x^n+1⋮x^2+x+1\) khi \(n=3k+1\left(k\in N\right)\) (1).

- Với \(n=3k+2\) thì:

\(x^{2n}+x^n+1=x^{2\left(3k+2\right)}+x^{3k+2}+1=x^{6k+4}+x^{3k+2}+1=x^{3k+4}\left(x^{3k}-1\right)+x^{3k+2}\left(x^2+x+1\right)-\left(x^{3k+3}-1\right)\)- Do \(\left\{{}\begin{matrix}x^{3k+4}\left(x^{3k}-1\right)⋮\left(x^{3k}-1\right)⋮\left(x^3-1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\\x^{3k+2}\left(x^2+x+1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\\\left(x^{3\left(k+1\right)}-1\right)⋮\left(x^3-1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow x^{3k+4}\left(x^{3k}-1\right)+x^{3k+2}\left(x^2+x+1\right)-\left(x^{3k+3}-1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\)

 hay  \(x^{2n}+x^n+1⋮x^2+x+1\) khi \(n=3k+2\left(k\in N\right)\) (2).

- Từ (1), (2) ta suy ra đpcm