Ta có:

∠A₃ = ∠B₁ (gt)

Mà ∠A₃ và ∠B₁ là hai góc so le trong

⇒ a // b

⇒ ∠A₂ = ∠B₂ (đồng vị)

Do ∠A₃ + ∠A₄ = 180⁰ (kề bù)

Mà ∠A₃ = ∠B₁ (gt)

⇒ ∠B₁ + ∠A₄ = 180⁰

\(\dfrac{2}{1\cdot6}+\dfrac{2}{11\cdot16}+...+\dfrac{2}{x\left(x+5\right)}=\dfrac{41}{103}\\ =>\dfrac{2}{5}\left(\dfrac{5}{1\cdot6}+\dfrac{5}{6\cdot11}+...+\dfrac{5}{x\left(x+5\right)}\right)=\dfrac{41}{103}\\ =>1-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{11}+...+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+5}=\dfrac{41}{103}:\dfrac{2}{5}=\dfrac{205}{206}\\ =>1-\dfrac{1}{x+5}=\dfrac{205}{206}\\ =>1-\dfrac{1}{x+5}=1-\dfrac{1}{206}\\ =>\dfrac{1}{x+5}=\dfrac{1}{206}\\ =>x+5=206\\ =>x=206-5=201\)

a: ta có: \(\widehat{MAB}=\widehat{ABC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AM//BC

ta có: \(\widehat{CAN}=\widehat{ACB}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AN//BC

Ta có: AM//BC

NA//BC

mà AM,AN có điểm chung là A

nên M,A,N thẳng hàng

b: Vì M,A,N thẳng hàng nên \(\widehat{MAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAN}=180^0\)

=>\(\widehat{ABC}+\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=180^0\)

\(\left(x+2\right)^2+2\left(y-3\right)^2< 4\)

mà x,y nguyên

nên \(\left[\left(x+2\right)^2;2\left(y-3\right)^2\right]\in\left\{\left(1;2\right);\left(0;2\right)\right\}\)

=>\(\left(x+2;y-3\right)\in\left\{\left(1;1\right);\left(1;-1\right);\left(-1;1\right);\left(-1;-1\right);\left(0;1\right);\left(0;-1\right)\right\}\)

=>\(\left(x;y\right)\in\left\{\left(-1;4\right);\left(-1;2\right);\left(-3;4\right);\left(-3;2\right);\left(-2;4\right);\left(-2;2\right)\right\}\)

a: Ta có: xx'\(\perp\)AB

yy'\(\perp\)AB

Do đó: xx'//yy'

b: xx'//y'y

=>\(\widehat{ADC}=\widehat{C_1}\)(hai góc so le trong)

=>\(\widehat{C_1}=74^0\)

c: DE là phân giác của góc CDF

=>\(\widehat{FDE}=\dfrac{\widehat{FDC}}{2}=\dfrac{106^0}{2}=53^0\)

Xét ΔDEF có \(\widehat{x'FE}\) là góc ngoài tại F

nên \(\widehat{x'FE}=\widehat{FED}+\widehat{FDE}=70^0+53^0=123^0\)

\(\left(x+5\right)^2-4x^2\\=\left(x+5\right)^2-\left(2x\right)^2\\ =\left[\left(x+5\right)-2x\right]\left[\left(x+5\right)+2x\right]\\ =\left(x+5-2x\right)\left(x+5+2x\right)\\ =\left(-x+5\right)\left(3x+5\right)\)

`a` là số tự nhiên không chia hết cho `3` nên a có dạng: 

`a = 3k + 1` hoặc `a = 3k + 2`

(`k` thuộc `N`*)

Mà a là số tự nhiên lẻ `=> a^2` là số tự nhiên lẻ `=> a^2 - 1` là số chẵn 

`=> a^2 ⋮ 2`

Để `a^2 - 1 ⋮ 6` thì  `a^2 - 1 ⋮ 3` (Vì `UCLN(2;3) = 1`)

- Xét `a = 3k + 1`

`=> a^2 -1 = (3k+1)^2 -1= 9k^2 + 6k + 1 - 1= 9k^2 + 6k^2 ⋮ 3` (Thỏa mãn)

- Xét `a = 3k + 2`

`=> a^2 -1 = (3k+2)^2 -1 = 9k^2 + 12k + 4 - 1= 9k^2 + 12k^2 + 3 ⋮ 3` (Thỏa mãn)

Vậy ...

\(\dfrac{3}{1^2.2^2}+\dfrac{5}{2^2.3^2}+...+\dfrac{19}{9^2.10^2}\)

= \(\dfrac{3}{1.4.}+\dfrac{5}{4.9}+...+\dfrac{19}{81.100}\)

= \(1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{9}+...+\dfrac{1}{81}+\dfrac{1}{100}\)

= \(1-\dfrac{1}{100}< 1\) (đpcm)

--------------------------------

Cho các số: a;b;c thuộc `N`; `c,b` khác `0` ta luôn có:

Nếu: `c-b = a` thì: 

\(\dfrac{a}{b.c}=\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\)