Bài 2:

a: Xét (O) có

CM,CA là tiếp tuyến

nên OC là phân giác của góc MOA(1) và CM=CA
Xet (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

b:

Xét ΔCOD vuông tại O có OM là đường cao

nên MC*MD=OM^2

c: \(AC=\sqrt{\left(2R\right)^2-R^2}=R\sqrt{3}\)

Định lý

 

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Hệ quả

Trong một đường tròn:

• Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
• Các góc nội tiếp chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
• Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90 độ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
• Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Ta có: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a}\ge\frac{a+b+c}{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho vế VT và VP:

\(VT=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^2b^2c^2}{8abc}}=3\sqrt[3]{\frac{abc}{8}}\)      (1)

\(VP=\frac{a+b+c}{2}\Leftrightarrow\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{8}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM

ĐKXĐ \(x>0;x\ne4\)

Để A nghuyên \(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\) nguyên hay \(\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)\inƯ\left(1\right)=\pm1\)

Xét \(\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)=1\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}=1\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}-1=0\Rightarrow x\notin Z\)

Xét \(\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)=-1\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}+1=0\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2=0\Rightarrow x=1\)(TM)

Vậy x = 1

Ta có: \(A=\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\) ĐKTM: \(x\ge0;x\ne4\)

Để x nguyên thì A nguyên, khi đó: \(\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)\inƯ\left(\pm1\right)\)

Suy ra: \(\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)=1\\\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)=-1\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-2\sqrt{x}-1=0\\\left(\sqrt{x}-1\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}loai\\x=1\end{cases}}}\)

Vậy nghiệm nguyên của A=1

(Chỗ \(x-2\sqrt{x}-1=0\) loại vì nếu trừ ra thì sẽ thấy phương trình âm, nhưng so với ĐK thì \(x>0\) để căn có nghĩa. Thế nên ta loại)

2x³-x²y+3x²+2x-y=2

(2x³+2x)-(x²y+y)+(3x²+3)=5

2x(x²+1)-y(x²+1)+3(x²+1)=5

(x²+1)(2x-y+3)=5

Mà x²>=0 => x²+1>0

=> (x²+1)(2x-y+3)=5=1.5=5.1

•x²+1=1 và 2x-y+3=5 => x=0; y=-2

•x²+1=5 và 2x-y+3=1=> x=2;y=6 hoặc x=-2; y=-2

Vậy (x;y) là (0;-2);(2;6);(-2;-2)