Ta có: \(\frac{a}{a^,}+\frac{b^,}{b}=1\) \(\iff\) \(ab+a^,b^,=a^,b\) \(\iff\) \(abc+a^,b^,c=a^,bc\left(1\right)\)

Ta có:\(\frac{b}{b^,}+\frac{c^,}{c}=1\) \(\iff\) \(bc+b^,c^,=b^,c\) \(\iff\) \(a^,bc+a^,b^,c^,=a^,b^,c\left(2\right)\)

Từ\(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) cộng vế với vế ta được : \(abc+a^,b^,c+a^,bc+a^,b^,c^,=a^,bc+a^,b^,c\)

\(\implies\) \(abc+a^,b^,c^,=0\left(đpcm\right)\)

\(A=x^2-2x+3=\left(x-1\right)^2+2\ge2\)

\(A=x^2-2x+3\)

\(\Leftrightarrow A=x^2+2x+1+2\)

\(\Leftrightarrow A=\left(x+1\right)^2+2\)

Ta có : \(\left(x+1\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x+1\right)^2+2\ge2\)

\(\Rightarrow A_{min}=2\)khi và chỉ khi \(\left(x+1\right)^2=0\Leftrightarrow x+1=0\Leftrightarrow x=-1\)

calculator

calculator dùng đi

Ta có : 3x = 2y => x/2 = y/3

7x = 5z => x/5 = z/7

 => x/2 = y/3 ; x/5 = z/7

 => x/10 = y/15 ; x/10 = z/21

 => x/10 = y/15 = z/21

 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau :

 x/10 = y /15 = z/21 = (x-y+z)/(10-15+21) = 32/16 = 2

đến đây xét x,y,z

 Câu b tương tự

Từ giả thiết suy ra:

2E=\(\frac{2}{1.2.3}+\frac{2}{2.3.4}+..+\frac{2}{86.87.88}\)

2E=\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{86.87}+\frac{1}{87.88}\)

2E=\(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{86}-\frac{1}{87}+\frac{1}{87}-\frac{1}{88}\)

2E=\(1-\frac{1}{88}\)

2E=\(\frac{87}{88}\)

E=\(\frac{87}{176}\)

Vậy E=\(\frac{87}{176}\)

xét n=0 => không thỏa mãn;n=1 => thỏa mãn; 

xét n\(\ge2\)

với n là số chẵn thì 

19ⁿ+1ⁿ=(19+1)(19^n-1  - 19^n-2  +... - 1)+ 2.1ⁿ = 20A + 2

18ⁿ +2ⁿ = (18+2)(18^n-1-  18^n-2.2 +  18^n-3.2²  - ... -  2^n-1) + 2.2ⁿ = 20B +2.2ⁿ

=> để 20A +2 +20B+ 2.2²ⁿ chia hết cho 5 thì 2.2ⁿ +2 chia hết cho 5 hay 2ⁿ +1 chia hết cho 5

n chẵn nên sẽ có dạng n= 2k (k\(\in N;k\ge1\)) => 2ⁿ +1 = 2^2k +1 = 4^k +1

4^k chỉ có chữ số tận cùng là 4 hoặc 6

với k chẵn thì 4^k tận cùng là 6 nên 4^k +1 không chia hết cho 5 (loại)

với k lẻ; k có dạng k = 2x+1 (\(x\in N;x\ge0\)) thì 4^k tận cùng là 4 nên 4^k +1 tận cùng là 5 ( thỏa mãn chia hết cho 5)  => n = 2k =2(2x+ 1) = 4x + 2 (x\(\in N;x\ge0\)) thỏa mãn

xét n là số lẻ; n =2k +1 (k\(\in Z;k\ge1\)) thì 19ⁿ+1ⁿ + 18ⁿ + 2ⁿ = (19+1)(19^n-1- 19^n-2  +...+ 1) + (18+2)(18^n-1 -  18^n-2.2 +...+  2^n-1)

=20U +20V chia hết cho 5

vậy với mọi n là số lẻ hoặc n = 4x +2(x \(\in N;x\ge1\)) đều thỏa mãn

+) 18 chia 5 dư 3

=> \(18^n;3^n\) có cùng số dư khi chia cho 5.

+) 19 chia 5 dư 4

=> \(19^n;4^n\)có cùng số dư khi chia cho 5

=> \(1^n+2^n+18^n+19^n\)chia hết cho 5 khi và chỉ khi \(1^n+2^n+3^n+4^n\) chia hết cho 5

+) Chúng ta đi tìm n bằng cách quy nạp:

Với n = 0 ta có: \(1^0+2^0+3^0+4^0=4⋮̸5\)

Với n = 1 ta có: \(1^1+2^1+3^1+4^1=10⋮5\)

Với n = 2 ta có: \(1^2+2^2+3^2+4^2=30⋮5\)

Với n = 3 ta có: \(1^3+2^3+3^3+4^3=100⋮5\)

Với n = 4 ta có: \(1^4+2^4+3^4+4^4=354⋮̸5\)

Với n = 5 ta có: \(1^5+2^5+3^3+4^3=1300⋮5\)

...

Từ điều trên chúng ta có nhận xét rằng, Các số n không chia hết cho 4 thì \(1^n+2^n+3^n+4^n\)chia hết cho 5.

+) Chứng minh: Xét n với 4 dạng : n = 4k; n= 4k+1 ; n= 4k+2; n= 4k +3 ( với k là số tự nhiên)

(i) Với n = 4k ta có: 

Vì \(1^k\)chia 5 dư 1; \(16^k\)chia 5 dư 1; \(81^k\)chia 5 dư 1;  \(256^k\)chia 5 dư 1

\(1^{4k}+2^{4k}+3^{4k}+4^{4k}=1^k+16^k+81^k+256^k\)

=> n =4k thì \(1^n+2^n+3^n+4^n\)không chia hết cho 5.

(ii) Với n = 4k + 1ta có:

Vì  \(1^k\)chia 5 dư 1; \(16^k.2\)chia 5 dư 2; \(81^k.3\)chia 5 dư 3; \(256^k.4\) chia 5 dư 4.

=> \(1^{4k+1}+2^{4k+1}+3^{4k+1}+4^{4k+1}=1^k+16^k.2+81^k.3+256^k.4\) chia 5 dư 10 => chia hết 5

=>  n =4k +1 thì \(1^n+2^n+3^n+4^n\) chia hết cho 5.

(iii)  Với n = 4k + 2  ta có:

Vì  \(1^k\)chia 5 dư 1; \(16^k.4\)chia 5 dư 4; \(81^k.9\)chia 5 dư 4; \(256^k.16\) chia 5 dư 1.

=> \(1^{4k+2}+2^{4k+2}+3^{4k+2}+4^{4k+2}=1^k+16^k.4+81^k.9+256^k.16\) chia 5 dư 10 => chia hết cho 5

=>  n =4k +2 thì \(1^n+2^n+3^n+4^n\) chia hết cho 5.

(iv)  Với n = 4k + 3ta có:

Vì  \(1^k\)chia 5 dư 1; \(16^k.8\)chia 5 dư 3; \(81^k.27\)chia 5 dư 2 ; \(256^k.64\) chia 5 dư 4.

=> \(1^{4k+1}+2^{4k+3}+3^{4k+3}+4^{4k+3}=1^k+16^k.8+81^k.27+256^k.64\) chia cho 5  dư 10 => chia hết cho 5

=>  n =4k +3 thì \(1^n+2^n+3^n+4^n\) chia hết cho 5.

=> n không chia hết cho 4 thì  \(1^n+2^n+3^n+4^n\) chia hết cho 5.

Vậy suy ra  \(1^n+2^n+18^n+19^n\) chia hết cho 5 khi n không chia hết cho 4.

\(A=\frac{1}{101^2}+\frac{1}{102^2}+\frac{1}{103^2}+\frac{1}{104^2}+\frac{1}{105^2}\)

\(A< \frac{1}{100\cdot101}+\frac{1}{101\cdot102}+\frac{1}{102\cdot103}+\frac{1}{103\cdot104}+\frac{1}{104\cdot105}\)

\(=\frac{1}{100}-\frac{1}{101}+\frac{1}{101}-\frac{1}{102}+\frac{1}{102}-\frac{1}{103}+\frac{1}{103}-\frac{1}{104}+\frac{1}{104}-\frac{1}{105}\)

\(=\frac{1}{100}-\frac{1}{105}=\frac{1}{2100}=\frac{1}{2^2\cdot3\cdot5^2\cdot7}=B\)

Vậy \(A< B\)