Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=-x+m-2\)

=>\(x^2+x-m+2=0\)

\(\text{Δ}=1^2-4\cdot1\cdot\left(-m+2\right)\)

\(=1+4\left(m-2\right)\)

\(=1+4m-8=4m-7\)

Để (P) và (d) tiếp xúc với nhau thì Δ=0

=>4m-7=0

=>4m=7

=>\(m=\dfrac{7}{4}\)

Toán nâng cao lớp 9, hôm nay olm sẽ hướng dẫn em làm dạng này bằng cách lập phương trình như sau:

Gọi số ngày đội 1 hoàn thành công việc là \(x\) (ngày); \(x>0\)

Trong một ngày đội 1 làm được: 1 : \(x\) = \(\dfrac{1}{x}\) (công việc)

Số ngày đội 1 phải làm một mình là: 16 - 12 = 4 (ngày)

Khi đội 1 tăng năng xuất lên 1,5 lần thì Trong 4 ngày đội 1 hoàn thành được số phần công việc là:

\(\dfrac{1}{x}\) \(\times\) 1,5 \(\times\) 4 = \(\dfrac{6}{x}\) (công việc)

Trong 4 ngày đội 2 làm được: \(\dfrac{6}{x}\) - \(\dfrac{1}{x}\) \(\times\)4 = \(\dfrac{2}{x}\) (công việc)

Trong một ngày đội 2 làm được: \(\dfrac{2}{x}\) : 4  = \(\dfrac{1}{2x}\) (công việc)

Theo bài ra ta có phuong trình: 

(\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2x}\)) x 16 = 1 ⇒ \(\dfrac{24}{x}\) = 1 ⇒ \(x\)= 24

Vậy đội 1 làm riêng thì hoàn thành công việc trong số ngày là: 24 ngày

Đội 2 làm riêng thì hoàn thành công việc trong số ngày là: 1 : \(\dfrac{1}{2.24}\)  = 48 (ngày)

Kết luận:.. 

Bài 1:

Vì \(m-2\ne m+1\) nên hai đường thẳng y=(m-2)x+m+3 và y=(m+1)x-2 luôn cắt nhau

Để hai đường thẳng y=(m-2)x+m+3 và y=(m+1)x-2 cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng y=x-3 thì

\(\left\{{}\begin{matrix}m-2\ne1\\m+1\ne1\end{matrix}\right.\)

=>\(m\notin\left\{3;0\right\}\)

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y=(m-2)x+m+3 và y=(m+1)x-2 là:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right)x+m+3=\left(m+1\right)x-2\\y=\left(m+1\right)x-2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2-m-1\right)x=-2-m-3\\y=\left(m+1\right)x-2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-3x=-m-5\\y=\left(m+1\right)x-2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{m+5}{3}\\y=\left(m+1\right)\cdot\dfrac{m+5}{3}-2=\dfrac{m^2+6m+5-6}{3}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{m+5}{3}\\y=\dfrac{m^2+6m-1}{3}\end{matrix}\right.\)

Thay \(x=\dfrac{m+5}{3};y=\dfrac{m^2+6m-1}{3}\) vào y=x-3, ta được:

\(\dfrac{m^2+6m-1}{3}=\dfrac{m+5}{3}-3\)

=>\(m^2+6m-1=m+5-9\)

=>\(m^2+6m-1=m-4\)

=>\(m^2+6m-1-m+4=0\)

=>\(m^2+5m+3=0\)

=>\(m=\dfrac{-5\pm\sqrt{13}}{2}\)

Bài 2:

Gọi thời gian đội 1 và đội 2 hoàn thành công việc khi làm một mình lần lượt là a(ngày) và b(ngày)

(ĐK: a>0 và b>0)

Trong 1 ngày, đội 1 làm được \(\dfrac{1}{a}\)(công việc)

Trong 1 ngày, đội 2 làm được: \(\dfrac{1}{b}\)(công việc)

Trong 1 ngày, hai đội làm được \(\dfrac{1}{12}\)(công việc)

Do đó, ta có: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{12}\left(1\right)\)

Trong 4 ngày, đội 1 làm được \(\dfrac{4}{a}\)(công việc)

Trong 14 ngày, đội 2 làm được \(\dfrac{14}{b}\)(công việc)

Theo đề, ta có phương trình: \(\dfrac{4}{a}+\dfrac{14}{b}=1\left(2\right)\)

từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{4}{a}+\dfrac{14}{b}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}=\dfrac{1}{3}\\\dfrac{4}{a}+\dfrac{14}{b}=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}-\dfrac{4}{a}-\dfrac{14}{b}=\dfrac{1}{3}-1\\\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{12}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{10}{b}=-\dfrac{2}{3}\\\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{12}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=15\\\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{1}{60}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}b=15\\a=60\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

Vậy: thời gian đội 1 và đội 2 hoàn thành công việc khi làm một mình lần lượt là 60 ngày và 15 ngày

Bài 1:

a: Thay x=0 và y=-5 vào (d), ta được:

\(2\left(m-1\right)\cdot0+2m+3=-5\)

=>2m+3=-5

=>2m=-8

=>m=-4

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=2\left(m-1\right)x+2m+3\)

=>\(x^2-2\left(m-1\right)x-2m-3=0\)

\(\text{Δ}=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\cdot1\left(-2m-3\right)\)

\(=4\left(m-1\right)^2+4\left(2m+3\right)\)

\(=4m^2-8m+4+8m+12=4m^2+16>0\)

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

Theo Vi-et, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-2m-3\end{matrix}\right.\)

\(x_A^2+x_B^2=10\)

=>\(\left(x_A+x_B\right)^2-2x_Ax_B=10\)

=>\(4\left(m-1\right)^2-2\left(-2m-3\right)=10\)

=>\(4m^2-8m+4+4m+6=10\)

=>\(4m^2-4m+4=0\)

=>\(4m^2-4m+1+3=0\)

=>\(\left(2m-1\right)^2+3=0\left(loại\right)\)

=>\(m\in\varnothing\)

\(P=\dfrac{7}{\sqrt{x}+2}\left(x\ge0\right)\) 

Để P nguyên thì 7 ⋮ \(\sqrt{x}+2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+2\inƯ\left(7\right)=\left\{1;-1;7;-7\right\}\)

Mà: \(\sqrt{x}+2\ge2\forall x\) 

\(\Rightarrow\sqrt{x}+2=7\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}=5\)

\(\Rightarrow x=25\left(tm\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}mx-y=2\\3x+my=5\end{matrix}\right.\)

Để hpt có nghiệm duy nhất thì: \(\dfrac{m}{3}\) ≠ \(\dfrac{-1}{m}\) \(\Leftrightarrow m\in R\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2x-my=2m\\3x+my=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2+3\right)x=2m+5\\3x+my=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m+5}{m^2+3}\\3\cdot\dfrac{2m+5}{m^2+3}+my=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m+5}{m^2+3}\\my=5-\dfrac{6m+15}{m^2+3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m+5}{m^2+3}\\y=\dfrac{5m-6}{m^2+3}\end{matrix}\right.\)

Mà: \(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\y>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2m+5}{m^2+3}>0\\\dfrac{5m-6}{m^2+3}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m+5>0\\5m-6>0\end{matrix}\right.\left(m^2+3>0\forall x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-\dfrac{5}{2}\\m>\dfrac{6}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m>\dfrac{6}{5}\)