BE là tia phân giác của góc B nên \(\frac{AE}{BC}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{BC+AB}\Rightarrow AE=\frac{bc}{a+c}\)

tương tự \(AE=\frac{bc}{a+b}\) \(\Rightarrow\frac{S_{AEF}}{S}=\frac{AE\cdot AF}{bc}=\frac{bc}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}\)

tương tự \(\frac{S_{BDF}}{S}=\frac{ac}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)},\frac{S_{CDE}}{S}=\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(c+b\right)}\)

bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với \(\frac{S_{AEF}}{S}+\frac{S_{BDF}}{S}+\frac{S_{CDE}}{S}\ge\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}+\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\ge\frac{3}{4}\)

biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được \(a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b\ge6abc\)

chia 2 vế cho abc ta được \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge6\)

ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

áp dụng cho 3 cặp số suy ra điều phải chứng minh

dấu "=" xảy ra khi a=b=c hay tam giác ABC đều

17262-9998=7264

846-197=649

202020202019-201920192020=100009999

Mấy câu nớ em có thể bấm máy tính còn câu cuối thì k nên ah làm câu cuối thôi nhé:

Có các số số hạng là:(998-1)+1=998 (số)

Có các cặp là:998:2= 499 (cặp)

1 cặp có là:998+1=999

A là:499.999=498501

còn lại em tự làm nhé,ah đang bận

175.1274-175.273-175

=175.(1274-273-1)

=175.1000

=175000

\(\text{175 .1274 - 175 . 273 - 175}\)

=\(175.\left(1274-273-1\right)\)

= \(175.1000\)

= \(175000\)

ĐKXĐ: x > 0; x \(\ne\)1

M = \(\left(\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\left(\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right)\)

M = \(\frac{\sqrt{x}.\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}}\cdot\frac{\left(x-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(x+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

M = \(\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{2\sqrt{x}}\cdot\frac{x\sqrt{x}-2x+\sqrt{x}-x\sqrt{x}-2x-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

M = \(\frac{-4x}{2\sqrt{x}}=-2\sqrt{x}\)

M > -6 => \(-2\sqrt{x}+6>0\)

<=> \(-2\left(\sqrt{x}-3\right)>0\) <=> \(\sqrt{x}-3< 0\) <=>  \(x< 9\)

kết hợp với đk => 0 < x < 9 và x khác 1

A B C H E F

a, Xét hai tam giác vuông ABH và tam giác vuông ACH có :

               góc AHB = góc AHC = 90độ

               AB = AC ( vì tam giác ABC cân tại A )

               cạnh AH chung

Do đó : tam giác ABH = tam giác ACH ( cạnh huyền - cạnh góc vuông )

=> HB = HC ( cạnh tương ứng )

và góc BAH = góc CAH ( góc tương ứng )

b,Xét tam giác AHE và tam giác AHF có :

          góc AEH = góc AFH = 90độ

           cạnh AH chung

          góc HAE = góc HAF ( theo câu a )

Do đó ; tam giác AHE = tam giác AHF ( cạnh huyền - góc nhọn )

=> AE = AF ( cạnh tương ứng )

=> tam giác AEF cân tại A 

=> góc AEF = góc AFE = \(\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\) ( 1 )

Vì tam giác ABC là tam giác cân nên :

góc ABC = góc ACB = \(\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : góc AEF = góc AFE = góc ABC = góc ACB

mà góc AEF = góc ABC và ở vị trí đồng vị 

=> EF // BC .

Học tốt

Bằng câu trả lời

dễ mà bạn :))) gáy tí , sai thì thôi

\(P=\frac{x^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\frac{y^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{z^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}\)

\(=\frac{x^3\left(1+z\right)}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{y^3\left(1+x\right)}{\left(1+y\right)\left(1+x\right)\left(1+z\right)}+\frac{z^3\left(1+y\right)}{\left(1+x\right)\left(1+z\right)\left(1+y\right)}\)

\(=\frac{x^3\left(1+z\right)+y^3\left(1+x\right)+z^3\left(1+y\right)}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\ge\frac{3\sqrt[3]{x^3y^3z^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\)

đến đây áp dụng BĐT phụ ( 1+a ) ( 1+b ) ( 1+c ) >= 8abc 

EZ :)))

nhưng làm thế thì ko bảo toàn đc dấu bất đẳng thức mà

Gọi số cần tìm là a ; (a > 0)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}a:9\text{ dư 7}\\a:10\text{ dư 8}\\a:12\text{ dư 10}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+2⋮9\\a+2⋮10\\a+2⋮12\end{cases}}\Rightarrow a+2\in BC\left(9;10;12\right)\)

Mà a nhỏ nhất

=> \(a+2\in BCNN\left(9;10;12\right)\)

Ta có 9 = 3²

10 = 2.5

12 = 2².3

=> BCNN(9;10;12) = 3² . 2²,5 = 180

=> a + 2 = 180

=> a = 178

\(A=\frac{1}{\frac{3.4}{2}}+\frac{1}{\frac{4.5}{2}}+...+\frac{1}{\frac{19.20}{2}}\)

=>    \(A=\frac{2}{3.4}+\frac{2}{4.5}+...+\frac{2}{19.20}\)

=>   \(\frac{A}{2}=\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{19.20}\)

=>   \(\frac{A}{2}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{19}-\frac{1}{20}\)

=>    \(\frac{A}{2}=\frac{1}{3}-\frac{1}{20}\)

=>   \(\frac{A}{2}=\frac{20-3}{20.3}\)

=>   \(\frac{A}{2}=\frac{17}{60}\)

=>   \(A=\frac{17}{30}\)

VẬY    \(A=\frac{17}{30}\)

Ta có :\(\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+...+\frac{1}{1+2+3+...+19}\)

\(=\frac{1}{3\times4}\times2+\frac{1}{4\times5}\times2+...+\frac{1}{19\times20}\times2\)

\(=2\times\left(\frac{1}{3\times4}+\frac{1}{4\times5}+...+\frac{1}{19\times20}\right)=2\times\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{19}-\frac{1}{20}\right)\)

\(=2\times\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{20}\right)=2\times\frac{17}{60}=\frac{17}{30}\)

ĐỂ EM CHÉP LẠI À

Gọi số thứ 1 là :a

Gọi số thứ 2 là:b

Gọi số thứ 3 là:c

a=3b

b=c-5

c-5.3=3b

a+b+c=55

Từ đó ta có giả thiết là:số tận cùng của b=0 

Số thứ 2 là:10 

Số thứ 3 là:55-(30+10)=15

Đ/s :Số thứ nhất:30

       Số thứ hai :10

       Số thứ ba :15