Ta có \(\frac{x^2+1}{x^3-1}=\frac{a}{x-1}+\frac{bx+c}{x^2+x+1}\)

\(\Rightarrow\frac{x^2+1}{x^3-1}=\frac{a.\left(x^2+x+1\right)}{x^3-1}+\frac{\left(x-1\right).\left(bx+c\right)}{x^3-1}\)

\(\Rightarrow\frac{x^2+1}{x^3-1}=\frac{ax^2+ax+a}{x^3-1}+\frac{bx^2-xc-xb-c}{x^3-1}\)

\(\Rightarrow\frac{x^2+1}{x^3-1}=\frac{x^2.\left(a+b\right)+x.\left(a-b-c\right)+\left(a-c\right)}{x^3-1}\)

Đồng nhất hệ số hai vế của tử số ta có 

\(\hept{\begin{cases}a+b=1\\a-b-c=0\\a-c=1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}a+b=1\\a-c=b\\a-c=1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\\c=0\end{cases}}}\)

Mình xin lưu ý rằng bất kì ai đều có thể tham gia cuộc thi,kể cả những bạn chưa tham gia vòng 1, 2.Và xin các bạn vui lòng không spam,không copy câu trả lời của người khác. Các câu trả lời cho câu hỏi xin vui lòng gửi vào bên dưới.Mong rằng các bạn tham gia thật nhiều nha! Vì lần này chỉ có 1 bài toán.

 ~ Mọi thắc mắc xin gửi tin nhắn cho mình ~

mong bạn có thể có bài nâng cao lớp 6 nha

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge2ab.2cd=4abcd\)                                

                                                         đpcm

???????????????????????????????????????????????

a, Vì ABCD là hình bình hành

\(\Rightarrow AD=BC;AD//BC\left(t.c\right)\)

Mà \(AE=ED=\frac{1}{2}AD;BF=FC=\frac{1}{2}BC\)

\(\Rightarrow ED=BF;ED//BF\)

\(\Rightarrow EDFB\) là hình bình hành ( dấu hiệu )

\(\Rightarrow EB//DF\left(t.c\right)\)

Lại có: \(M\in EB;N\in FD\) ( do BE cắt AC ở M; DF cắt AC ở N )

\(\Rightarrow EM//DN\)

\(\Rightarrow EMND\) là hình thang ( dấu hiệu )

b, Vì \(AD//BC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{DAC}=\widehat{BCA}\) ( so le trong )

Hay \(\widehat{EAM}=\widehat{FCN}\)   (1)

Vì EDFB là hình bình hành ( cm ở câu a )

\(\Rightarrow\widehat{BED}=\widehat{BFD}\left(t.c\right)\)

Mà \(\widehat{AEM}+\widehat{BED}=180^o;\widehat{CFN}+\widehat{BFD}=180^o\) ( các góc kề bù )

\(\Rightarrow\widehat{AEM}=\widehat{CFN}\)   ( 2 )

Lại có : AE = FC ( chứng minh ở câu a )                   (3)

Từ (1); (2); (2) suy ra : \(\Delta AME=\Delta CNF\left(g.c.g\right)\)

\(\left(\frac{1}{x}+1-\frac{3}{x^3+1}-\frac{3}{x^2-x+1}\right)\cdot\frac{3x^2-3x+3}{\left(x+1\right).\left(x+2\right)}-\frac{2x-2}{x^2+2x}\)

\(=\left(\frac{x+1}{x}-\frac{3}{\left(x+1\right).\left(x^2-x+1\right)}+\frac{3.\left(x+1\right)}{\left(x+1\right).\left(x^2-x+1\right)}\right)\cdot\frac{3.\left(x^2-x+1\right)}{\left(x+1\right).\left(x+2\right)}-\frac{2.\left(x-1\right)}{x.\left(x+2\right)}\)

\(=\left[\frac{\left(x+1\right)^2.\left(x^2-x+1\right)-3x+3x^2+3x}{x.\left(x+1\right).\left(x^2-x+1\right)}\right]\cdot\frac{3.\left(x^2-x+1\right)}{\left(x+1\right).\left(x+2\right)}-\frac{2.\left(x-1\right)}{x.\left(x+2\right)}\)

\(=\left[\frac{x^4+x^3+x+1+3x^2}{x.\left(x+1\right).\left(x^2-x+1\right)}\right]\cdot\frac{3.\left(x^2-x+1\right)}{\left(x+1\right).\left(x+2\right)}-\frac{2.\left(x-1\right)}{x.\left(x+2\right)}\)

\(=\frac{3x^4+3x^3+3x+3+9x^2}{x.\left(x+1\right)^2.\left(x+2\right)}-\frac{2.\left(x-1\right)}{x.\left(x+2\right)}=\frac{3x^4+3x^3+3x+3+9x^2}{x.\left(x+1\right)^2.\left(x+2\right)}-\frac{2x^3+2x^2-2x-2}{x.\left(x+1\right)^2.\left(x+2\right)}\)

\(=\frac{3x^4+x^3+7x^2+5x+5}{x.\left(x+1\right)^2.\left(x+2\right)}\)

\(a,\frac{3x^3+6x^2}{x^3+2x^2+x+2}=\frac{3x^2\left(x+2\right)}{x^2\left(x+2\right)+\left(x+2\right)}\)

\(=\frac{3x^2\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x^2+1\right)}\)

\(\RightarrowĐKXĐ:x\ne-2\)

\(b,\) Với \(x\ne-2\) thì :

\(\frac{3x^3+6x^2}{x^3+2x^2+x+2}=\frac{3x^2\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x^2+1\right)}\)

\(=\frac{3x^2}{x^2+1}\)

Vì \(3x^2,\left(x^2+1\right)\ge0vs\forall x\)

\(\Rightarrow\frac{3x^2}{x^2+1}\ge0\)

Do đó : Giá trị của phân thức luôn không âm khi nó được xác định.