Đặt: \(x+5=t\) ta có: \(pt\Leftrightarrow\left(t+1\right)^4+\left(t-1\right)^4=82\)

\(\Rightarrow\left(t^2+2t+1\right)^2+\left(t^2-2t+1\right)^2=82\)

Thực hiện khai triển sẽ tìm được giá trị của x

Đặt t = x + 3 
\(\Rightarrow x+2=t-1;x+4=t+1\)

Ta có phương trình sau:

\(\left(t-1\right)^4+\left(t+1\right)^4=82\)

\(\Leftrightarrow\left(t^2-2t+1\right)^2+\left(t^2+2t+1\right)=82\)

\(\Leftrightarrow\left(t^2+1\right)^2-4t\left(t^2+1\right)+4t^2+\left(t^2+1\right)^2+4t^2=82\)

\(\Leftrightarrow\left(t^2+1\right)^2+4t^2=41\Leftrightarrow t^4+6t^2+1=41\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t^2=-10\\t^2=2;t^2=-2\end{cases}}\)( \(t^2=-10\)loại )

- \(t=-2\Leftrightarrow x=-5\)

- \(t=2\Leftrightarrow x=-1\)

Vậy chị tự kết luận nha 

Ta có P=\(\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\)

Mà \(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\Rightarrow P\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2}=a^2+b^2+c^2=1\)

Vậy P min = 1 <=> a=b=c=1/căn(3)

^^

ta có a^2+b^2+c^2=1

Mà a,b,c thuộc N

\(\Rightarrow\)TH1:a và b =0

TH2:b và c=0

TH3:c và a=0

nhưng \(P=\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\)có b,c,a là mẫu

Do đó không có P

Tui chơi bang bang trao đổi acc không

\(VT=3\left(a+b+c\right)+2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)\(=\left(3a+\frac{2}{a}\right)+\left(3b+\frac{2}{b}\right)+\left(3c+\frac{2}{c}\right)\)

*Nháp*

Dự đoán điểm rơi tại a = b = c = 1 khi đó VT = 15

Ta dự đoán BĐT phụ có dạng \(3x+\frac{2}{x}\ge mx^2+n\)(Ta thấy hạng tử trong điều kiện đã cho ban đầu có bậc là 2 nên VP của BĐT phụ cũng có bậc 2)     (*)

Do đó ta có: \(3a+\frac{2}{a}\ge ma^2+n\);\(3b+\frac{2}{b}\ge mb^2+n\);\(3c+\frac{2}{c}\ge mc^2+n\)

Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được: \(VT\ge m\left(a^2+b^2+c^2\right)+3n=3\left(m+n\right)=15\)

\(\Rightarrow m+n=5\Rightarrow n=5-m\)

Thay n = 5 - m vào (*), ta được: \(3x+\frac{2}{x}\ge mx^2+5-m\)

\(\Leftrightarrow\frac{3x^2-5x+2}{x}\ge m\left(x^2-1\right)\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(3x-2\right)}{x\left(x+1\right)}\ge m\left(x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow m\le\frac{3x-2}{x\left(x+1\right)}\)(**)

Đồng nhất x = 1 vào (**), ta được: \(m=\frac{1}{2}\Rightarrow n=\frac{9}{2}\)

Ta được BĐT phụ \(3x+\frac{2}{x}\ge\frac{x^2}{2}+\frac{9}{2}\)

GIẢI:

Ta có: \(a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow0< a^2;b^2;c^2\le3\Rightarrow0< a;b;b\le\sqrt{3}\)

Ta chứng minh BĐT phụ sau: \(3x+\frac{2}{x}\ge\frac{x^2}{2}+\frac{9}{2}\)(với \(0< x\le\sqrt{3}\))

\(\Leftrightarrow\frac{\left(4-x\right)\left(x-1\right)^2}{2x}\ge0\)(đúng với mọi \(0< x\le\sqrt{3}\))

Áp dụng, ta được: \(3a+\frac{2}{a}\ge\frac{a^2}{2}+\frac{9}{2}\);\(3b+\frac{2}{b}\ge\frac{b^2}{2}+\frac{9}{2}\);\(3c+\frac{2}{c}\ge\frac{c^2}{2}+\frac{9}{2}\)

Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được: \(VT\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{9}{2}.3=15\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

hình chử nhật có chu vi là 150m chiều dài hơn chiều rộng là 15m tìm tỉ số của chiều rộng và chiều dài hinh chử nhật đó

Đặt t = x + 3 
=> x + 2 = t - 1; x + 4 = t + 1. 
ta có pt: (t - 1)^4 + (t + 1)^4 = 82 
<=>[(t -1)²]² + [(t + 1)²]² = 82 
<=> (t² - 2t + 1)² + (t² + 2t + 1)² = 82 
<=> (t²+1)² - 4t(t²+1) + 4t² + (t²+1)² + 4t(t²+1) + 4t² = 82 
<=> (t² + 1)² + 4t² = 41 
<=> t^4 + 6t² + 1 = 41 
<=> (t²)² + 6t² - 40 = 0 
<=> t² = -10 (loại) hoặc t² = 4 
<=> t = 2 hoặc t = -2 
với t = -2 => x = -5 
với t = 2 => x = -1 
vậy pt có hai nghiệm là : x = -1 hoặc x = -5

Giải thík hộ mk tại sao (t^2-2t+1)^2 lại bằng (t^2+1)^2

ko hiểu

\(f\left(x,y\right)=x^2+4y^2+1-4xy+2x-4y+y^2-2y+1+1\)

\(=\left(x-2y+1\right)^2+\left(y-1\right)^2+1\ge1>0\)

\(\Rightarrowđpcm\)