\(\dfrac{25}{10+5\sqrt{3}}+\dfrac{5}{\sqrt{2}-1}+\dfrac{\sqrt{5}}{2-\sqrt{3}}\)

\(=\dfrac{5}{2+\sqrt{3}}+\dfrac{5\left(\sqrt{2}+1\right)}{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}+\dfrac{\sqrt{5}\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}\)

\(=\dfrac{5\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}+\dfrac{5\sqrt{2}+5}{\left(\sqrt{2}\right)^2-1}+\dfrac{2\sqrt{5}+\sqrt{15}}{2^2-\left(\sqrt{3}\right)^2}\)

\(=\dfrac{10-5\sqrt{3}}{2^2-\left(\sqrt{3}\right)^2}+\dfrac{5\sqrt{2}+5}{1}+\dfrac{2\sqrt{5}+\sqrt{15}}{1}\)

\(=10-5\sqrt{3}+5\sqrt{2}+5+2\sqrt{5}+\sqrt{15}\)

\(=15+5\sqrt{2}-5\sqrt{3}+2\sqrt{5}+\sqrt{15}\) 

\(\Rightarrow a=15;b=5;c=5;d=2;e=1\)

\(\Rightarrow a+b+c+d+e=15+5+5+2+1=28\)

ΔABC vuông tại A đẳng thức đúng là: 

\(cotB=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow AB=cotB\cdot AC\) 

\(x^2-2\left(n-1\right)x-n-5=0\) (1) 

\(\Delta=\left[-2\left(n-1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(-n-5\right)=4\left(n-1\right)^2+4\left(n+5\right)\)

\(=4\left(n^2-2n+1\right)+4n+20=4n^2-4n+1+23=\left(2n-1\right)^2+23>0\forall x\) 

Pt luôn có 2 nghiệm phân biệt 

Theo vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(n-1\right)\\x_1x_2=-n-5\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(x_1^2+x_2^2=14\) 

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=14\)

\(\Rightarrow\left[2\left(n-1\right)\right]^2-2\cdot\left(-n-5\right)=14\)

\(\Leftrightarrow4\left(n-1\right)^2+2\left(n+5\right)=14\)

\(\Leftrightarrow4n^2-8n+4+2n+10=14\)

\(\Leftrightarrow4n^2-6n=0\)           

\(\Leftrightarrow2n\left(2n-3\right)=0\) 

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=0\\2n=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=0\\n=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\) 

Vậy: ... 

Ta có ΔABC vuông tại B ta có:

\(tanC=\dfrac{AB}{BC}\)

\(\Rightarrow tan60^o=\dfrac{6}{BC}\)

\(\Rightarrow BC=x=tan60^o\cdot6=6\sqrt{3}\) (cm) 

\(\sqrt{\dfrac{x+7}{x-7}}-\sqrt{\dfrac{x-7}{x+7}}\left(x>7\right)\)

\(=\dfrac{\sqrt{x+7}}{\sqrt{x-7}}-\dfrac{\sqrt{x-7}}{\sqrt{x+7}}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x+7}\right)^2}{\sqrt{x-7}\cdot\sqrt{x+7}}-\dfrac{\left(\sqrt{x-7}\right)^2}{\sqrt{x-7}\cdot\sqrt{x+7}}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x+7}\right)^2-\left(\sqrt{x-7}\right)^2}{\sqrt{\left(x-7\right)\left(x+7\right)}}\)

\(=\dfrac{\left(x+7\right)-\left(x-7\right)}{\sqrt{x^2-49}}\)

\(=\dfrac{14}{\sqrt{x^2-49}}\)

\(=\dfrac{14\sqrt{x^2-49}}{x^2-49}\)

\(=\dfrac{14}{x^2-49}\sqrt{x^2-49}\)

⇒ \(m=14\)

Gọi vị trí bị trống đó là \(x\) ta có:

\(x:\left(\dfrac{10}{\sqrt{2}}-4\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow x:\left(\dfrac{5\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-4\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow x:\left(5\sqrt{2}-4\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow x:\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow x=\sqrt{2}\cdot2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow x=4\)

Số cần điền vào ô trống là 4 

    2: Sửa đề: DH*BC=AB*AH

\(x^2+\left(m-2\right)x-2m=0\)

\(\Delta=\left(m-2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2m\right)=m^2-4m+4+8m=m^2+4m+4\)

\(=\left(m+2\right)^2\)

Để pt có nghiệm thì \(\Delta\ge0\) mà nếu \(\Delta=0\Rightarrow x_1=x_2\Rightarrow\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=0\ne2\) 

\(\Rightarrow\Delta>0\Leftrightarrow m+2\ne0\Leftrightarrow m\ne-2\) 

Theo vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\left(m-2\right)=2-m\\x_1x_2=-2m\end{matrix}\right.\) 

Ta có: \(\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=2\)

\(\Leftrightarrow\left(\left|x_1\right|-\left|x_2\right|\right)^2=2^2\left(\left|x_1\right|>\left|x_2\right|\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\left|x_1\right|\right)^2+\left(\left|x_2\right|\right)^2-2\left|x_1x_2\right|=4\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2-2\left|x_1x_2\right|=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-2\left|x_1x_2\right|=4\)

\(\Leftrightarrow\left(2-m\right)^2-2\cdot\left(-2m\right)-2\left|-2m\right|=4\)

\(\Leftrightarrow4-4m+m^2+4m-4\left|m\right|=4\)

\(\Leftrightarrow m^2-4\left|m\right|=0\)

TH1: \(m\ge0\)

\(\Rightarrow m^2-4m=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=4\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)

TH2: \(m< 0\)

\(\Rightarrow m^2+4m=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\left(ktm\right)\\m=-4\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

 \(m\in\left\{0;4;-4\right\}\)

Thử lại ta thấy \(m=4\left(ktm\right)\)

\(\Rightarrow m\in\left\{0;-4\right\}\)

Gọi số học sinh đăng kí học Bơi lúc ban đầu là x(bạn)

(ĐK: \(x\in Z^+\))

Số học sinh đăng kí học cầu lông ban đầu là 45-x(bạn)

Số học sinh thực tế học bơi là x+4-2=x+2(bạn)

Số học sinh thực tế học cầu lông là 45-x-4=41-x(bạn)

Số học sinh học cầu lông ít hơn số học sinh học bơi 1 bạn nên ta có:

x+2-(41-x)=1

=>x+2-41+x=1

=>2x-39=1

=>2x=40

=>x=20(nhận)

Vậy: số học sinh đăng kí học Bơi lúc ban đầu là 20 bạn, số học sinh đăng kí học cầu lông lúc ban đầu là 45-20=25 bạn

Lời giải:
Nếu $b$ là số lít xăng bình có ban đầu, $x$ là số km đường xe đi được, $a$ là lượng xăng tiêu hao khi ô tô đi được $1$ km thì phương trình biểu diễn số xăng còn lại của xe sau khi đi được $x$ km là:

$y=b-ax$