ĐKXĐ : x > 0

\(P=\left(\frac{1}{x+\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}\right):\frac{\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x+1}}\left(x>0\right)\)

\(=\left[\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}\right]:\frac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\)

\(=\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}.\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{\sqrt{x}}\)

\(=\frac{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{x}\)

\(=\frac{1-x}{x}\)

Phương trình 2 nghiệm phân biệt khi 

\(\Delta=\left(1-m\right)^2-4\left(-m\right).1=\left(m+1\right)^2>0\)

\(\Leftrightarrow m\ne-1\)

Hệ thức Vière : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m-1\\x_1.x_2=-m\end{cases}}\)

Khi đó \(x_1\left(5-x_2\right)\ge5\left(3-x_2\right)-36\)

<=> \(-x_1x_2+5\left(x_1+x_2\right)\ge-21\)

<=> \(-\left(-m\right)+5\left(m-1\right)\ge-21\)

\(\Leftrightarrow6m\ge-16\Leftrightarrow m\ge-\frac{8}{3}\)

Kết hợp điều kiện => \(\hept{\begin{cases}m\ge-\frac{8}{3}\\m\ne-1\end{cases}}\)thì thỏa mãn bài toán 

\(\Delta=\left(1-m\right)^2+4m=\left(m+1\right)^2>0\Rightarrow m\ne-1\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-1\\x_1x_2=-m\end{matrix}\right.\)

\(x_1\left(5-x_2\right)\ge5\left(3-x_2\right)-36\)

\(\Leftrightarrow5\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2\ge-21\)

\(\Leftrightarrow5\left(m-1\right)+m\ge-21\)

\(\Leftrightarrow m\ge-\dfrac{8}{3}\)

Kết hợp điều kiện ban đầu ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne-1\\m\ge-\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.\)

`Answer:`

`x^2+4x+7=(x+4)\sqrt{x^2+7}`

Ta đặt `v=\sqrt{x^2+7}` và `v>=\sqrt{7}`

`=>v^2=x^2+7`

Phương trình trở thành: `v^2+4x=(x+4)v`

`<=>v^2-xv+4x-4v=0`

`<=>(v-4)(v-x)=0`

`<=>v=4` hoặc `v=x`

Với `v=4` ta được: `\sqrt{x^2+7}=4`

`=>x^2+7=16`

`<=>x^2=9`

`<=>x=+-3`

Với `v=x` ta được: `\sqrt{x^2+7}=x`

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\x^2+7=x^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\7=0\text{(Vô lý)}\end{cases}}\Leftrightarrow x\in\varnothing\)

Đặt \(\sqrt{x^2+7}=t>0\)

Pt trở thành:

\(t^2-\left(x+4\right)t+4x=0\)

\(\Leftrightarrow t^2-xt-4t+4x=0\)

\(\Leftrightarrow t\left(t-x\right)-4\left(t-x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-x\right)\left(t-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=4\\t=x\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+7}=4\\\sqrt{x^2+7}=x\left(x\ge0\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+7=16\\x^2+7=x^2\left(vn\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=\pm3\)

ta có \(\Delta\)= 5²-4.(-3).2 =49>0, \(\sqrt{\Delta}\)=7

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt : x₁=\(\frac{-5-7}{2.2}\)=-3;   x_{2=\(\frac{-5+7}{2.2}\)=0,5}

Lời giải:

1. Để đths đi qua $A(-2;-2)$ thì:

$y_A=(m-2)x_A^2$

$\Leftrightarrow -2=(m-2)(-2)^2$

$\Leftrightarrow m-2=\frac{-1}{2}$
$\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}$
2.

PT hoành độ giao điểm của đths câu 1 với $y=-1$ là:

$(\frac{3}{2}-2)x^2=-1$

$\Leftrightarrow \frac{-1}{2}x^2=-1$

$\Leftrightarrow x^2=2$

$\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}$

Vậy 2 tọa độ giao điểm là $M(\sqrt{2}; -1); (-\sqrt{2}; -1)$

Gọi nghiệm chung phương trình là x₂

Phương trình x² + ax + b = 0 có nghiệm 

\(x_1+x_2=-a;x_1.x_2=b\)

Tương tự với phương trình x² + cx + d = 0

=> \(x_3+x_2=-c;x_2.x_3=d\)

Khi đó b - d = x₂(x₁ - x₃)

a - c = x₃ - x₁ 

ad - bc = -(x₁ + x₂).x₂.x₃ + x₁.x₂(x₃ + x₂) = \(x_2^2\left(x_1-x_3\right)\)

Khi đó P = (b - d)² + (a - c)(ad - bc) 

= \(\left[x_2\left(x_1-x_3\right)\right]^2-\left(x_1-x_3\right)x_2^2\left(x_1-x_3\right)=0\)(đpcm) 

... thì \(\left(b-d\right)^2+\left(a-c\right)\left(ad-bc\right)=0\) 

Sorry, tui ghi thiếu