a. Do AB là đường kính và C, D thuộc đường tròn nên \(\widehat{ACB}\) ; \(\widehat{ADB}\) là các góc nt chắn nửa đường tròn

\(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{ADB}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{ECF}=\widehat{EDF}=90^0\)

\(\Rightarrow\) C và D cùng nhìn EF dưới 1 góc vuông nên ECFD nội tiếp

Do \(\widehat{ACB}=\widehat{ADB}=90^0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AD\perp BE\\BC\perp AE\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow F\) là giao điểm 2 đường cao AD, BC của tam giác ABE

\(\Rightarrow F\) là trực tâm tam giác ABE

\(\Rightarrow EF\) là đường cao thứ 3

\(\Rightarrow EF\perp AB\)

b.

Đề đúng: IF là đường phân giác (góc chỉ có phân giác chứ không có đường cao).

Theo câu a, do EF vuông góc AB tại I \(\Rightarrow\widehat{AIF}=90^0=\widehat{ACF}\)

\(\Rightarrow\) I và C cùng nhìn AF dưới 1 góc vuông

\(\Rightarrow ACFI\) nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{CIF}=\widehat{CAF}\) (cùng chắn CF) (1)

\(\widehat{AIE}=\widehat{ADE}=90^0\Rightarrow\) I và D cùng nhìn AE dưới 1 góc vuông

\(\Rightarrow AIDE\) nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{EAD}=\widehat{EID}\)

Hay \(\widehat{CAF}=\widehat{EID}\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\widehat{CIF}=\widehat{EID}\)

\(\Rightarrow IF\) là phân giác của \(\widehat{CID}\)

\(a+b+c=1-\left(2+m\right)+m+1=0\)

\(\Rightarrow\) Pt luôn có 2 nghiệm \(x=\left\{1;m+1\right\}\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=1\\x_2=m+1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2.1+3\left|m+1\right|=5\)

\(\Rightarrow\left|m+1\right|=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-2\end{matrix}\right.\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=m+1\\x_2=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\left|m+1\right|+3=5\Rightarrow\left|m+1\right|=1\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-2\end{matrix}\right.\)

a.

Pt có 2 nghiệm khi \(\Delta=9-4\left(m-2\right)\ge0\Rightarrow m\le\dfrac{17}{4}\)

b.

Khi pt có 2 nghiệm, theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)

Do \(x_1\) là nghiệm \(\Rightarrow x_1^2-3x_1+m-2=0\Rightarrow x_1^2=3x_1-m+2\)

\(\Rightarrow3x_1-m+2-x_1x_2+2x_1+x_2=m-1\)

\(\Leftrightarrow5x_1+x_2=3m-5\)

Kết hợp \(x_1+x_2=3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3\\5x_1+x_2=3m-5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{3m-8}{4}\\x_2=\dfrac{-3m+20}{4}\end{matrix}\right.\)

Thay vào \(x_1x_2=m-2\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{3m-8}{4}\right)\left(\dfrac{-3m+20}{4}\right)=m-2\)

\(\Leftrightarrow9m^2-68m+128=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=\dfrac{32}{9}\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn)

- Với \(x< 0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+19\sqrt{x^2+3x}>0\\-2x\sqrt{x^2+3x}>0\\-35x>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Vế trái dương nên pt vô nghiệm

- Với \(x=0\) là 1 nghiệm

- Với \(x>0\) phương trình tương đương:

\(2x\left(\sqrt{x^2+3x}-2\right)+19\left(2x-\sqrt{x^2+3x}\right)-\left(x^2-x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x\left(x^2+3x-4\right)}{\sqrt{x^2+3x}+2}+\dfrac{19.\left(3x^2-3x\right)}{2x+\sqrt{x^2+3x}}-\left(x^2-x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2-x\right)\left(2x+8\right)}{\sqrt{x^2+3x}+2}+\dfrac{57\left(x^2-x\right)}{2x+\sqrt{x^2+3x}}-\left(x^2-x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-x\right)\left(\dfrac{2x+8}{\sqrt{x^2+3x}+2}+\dfrac{57}{2x+\sqrt{x^2+3x}}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-x\right)\left(\dfrac{2x+6-\sqrt{x^2+3x}}{\sqrt{x^2+3x}+2}+\dfrac{57}{2x+\sqrt{x^2+3x}}\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-x=0\Rightarrow x=1\\\dfrac{2x+6-\sqrt{x^2+3x}}{\sqrt{x^2+3x}+2}+\dfrac{57}{2x+\sqrt{x^2+3x}}=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Xét (1), do \(x>0\)

\(\Rightarrow2\left(x+3\right)=2\sqrt{x^2+6x+9}>2\sqrt{x^2+3x}>\sqrt{x^2+3x}\)

\(\Rightarrow2x+6-\sqrt{x^2+3x}>0\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\) vô nghiệm

Vậy nghiệm của pt là \(x=\left\{0;1\right\}\)

a: Xét (O) có

ΔAEB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAEB vuông tại E

Xét tứ giác BEFI có \(\widehat{BEF}+\widehat{BIF}=90^0+90^0=180^0\)

nên BEFI là tứ giác nội tiếp

b: Ta có: ΔODC cân tại O

mà OI là đường cao

nên I là trung điểm của CD

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

Xét ΔCAB vuông tại C có CI là đường cao

nên \(IC^2=IA\cdot IB\)

=>\(IA\cdot IB=IC\cdot ID\)

Xét ΔAIF vuông tại I và ΔAEB vuông tại E có

\(\widehat{IAF}\) chung

Do đó: ΔAIF~ΔAEB

=>\(\dfrac{AI}{AE}=\dfrac{AF}{AB}\)

=>\(AI\cdot AB=AE\cdot AF\left(1\right)\)

Xét ΔACB vuông tại C có CI là đường cao

nên \(AI\cdot AB=AC^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AF=AC^2\)

a.

Xét hai tam giác AMD và CMA có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AMD}=\widehat{CMA}=90^0\\\widehat{MAD}=\widehat{MCA}\left(\text{cùng chắn AD}\right)\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\Delta AMD\sim\Delta CMA\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MD}{MA}\Rightarrow MA^2=MC.MD\)

Do A, M cố định \(\Rightarrow MA^2\) không đổi

\(\Rightarrow MC.MD\) không đổi

b.

Kéo dài AD cắt BC tại E

Từ cm câu a, \(\Delta AMD\sim\Delta CMA\Rightarrow\widehat{ADM}=\widehat{CAM}\)

Tam giác ADM vuông tại M \(\Rightarrow\widehat{ADM}+\widehat{MAD}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{CAM}+\widehat{MAD}=90^0\) (1)

Mx đi qua trung điểm của AB và vuông góc AB nên Mx là trung trực của AB

C thuộc Mx \(\Rightarrow CA=CB\Rightarrow\Delta CAB\) cân tại C

\(\Rightarrow\widehat{CAM}=\widehat{CBM}\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\widehat{MAD}+\widehat{CBM}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{AEB}=180^0-\left(\widehat{MAD}+\widehat{CBM}\right)=90^0\)

\(\Rightarrow AE\perp BC\)

\(\Rightarrow D\) là giao điểm 2 đường cao AE và CM của tam giác ABC nên D là trực tâm tam giác ABC

1:

a: Thay m=-2 vào (1), ta được:

\(x^2-2\left(-2+1\right)x+\left(-2\right)^2+\left(-2\right)-1=0\)

=>\(x^2+2x+1=0\)

=>\(\left(x+1\right)^2=0\)

=>x+1=0

=>x=-1

b: \(\text{Δ}=\left[2\left(m+1\right)\right]^2-4\left(m^2+m-1\right)\)

\(=4m^2+8m+4-4m^2-4m+4\)

=4m+8

Để phương trình (1) có hai nghiệm thì Δ>=0

=>4m+8>=0

=>4m>=-8

=>m>=-2

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m+1\right)=2m+2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m^2+m-1\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2=18\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=18\)

=>\(\left(2m+2\right)^2-2\left(m^2+m-1\right)=18\)

=>\(4m^2+8m+4-2m^2-2m+2-18=0\)

=>\(2m^2+6m-12=0\)

=>\(m^2+3m-6=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{-3-\sqrt{33}}{2}\left(loại\right)\\m=\dfrac{-3+\sqrt{33}}{2}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

2: Gọi số tấn thóc năm ngoái đơn vị thứ nhất thu hoạch được là x(tấn)

(Điều kiện: x>0)

Số tấn thóc năm ngoái đơn vị thứ hai thu hoạch được là:

600-x(tấn)

Số tấn thóc năm nay đơn vị thứ nhất thu hoạch được là:

\(\left(1+10\%\right)\cdot x=1,1x\left(tấn\right)\)

Số tấn thóc năm nay đơn vị thứ hai thu hoạch được là:

\(\left(600-x\right)\left(1+20\%\right)=1,2\left(600-x\right)\left(tấn\right)\)

Tổng số tấn thóc năm nay hai đơn vị thu hoạch được là 685 tấn nên ta có:

1,1x+1,2(600-x)=685

=>1,1x+720-1,2x=685

=>-0,1x=685-720=-35

=>x=350(nhận)

Vậy: số tấn thóc năm ngoái đơn vị thứ nhất thu hoạch được là 350 tấn

số tấn thóc năm ngoái đơn vị thứ hai thu hoạch được là 600-350=250 tấn

Trên cạnh MA, lấy H sao cho MH=MB

Xét (O) có

\(\widehat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB

\(\widehat{AMB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB

Do đó: \(\widehat{AMB}=\widehat{ACB}=60^0\)

Xét ΔMHB có MB=MH và \(\widehat{HMB}=60^0\)

nên ΔMHB đều

=>\(\widehat{MHB}=60^0=\widehat{MBH}\) và MB=MH=BH

Ta có: \(\widehat{AHB}+\widehat{BHM}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(\widehat{AHB}+60^0=180^0\)

=>\(\widehat{AHB}=120^0\)

Xét (O) có A,B,M,C cùng thuộc (O)

nên ABMC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{BAC}+\widehat{BMC}=180^0\)

=>\(\widehat{BMC}=180^0-60^0=120^0\)

=>\(\widehat{AHB}=\widehat{BMC}\)

Xét (O) có

\(\widehat{BAM}\) là góc nội tiếp chắn cung BM

\(\widehat{BCM}\) là góc nội tiếp chắn cung BM

Do đó: \(\widehat{BAM}=\widehat{BCM}\)

Ta có: \(\widehat{AHB}+\widehat{HAB}+\widehat{HBA}=180^0\)

\(\widehat{BMC}+\widehat{MBC}+\widehat{MCB}=180^0\)

mà \(\widehat{AHB}=\widehat{BMC}=120^0;\widehat{HAB}=\widehat{MCB}\)

nên \(\widehat{HBA}=\widehat{MBC}\)

Xét ΔHBA và ΔMBC có

HB=MB

\(\widehat{HBA}=\widehat{MBC}\)

BA=BC

Do đó: ΔHBA=ΔMBC

=>HA=MC

Ta có: AH+HM=AM

mà AH=MC và HM=MB

nên MB+MC=MA

Bài 3:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x^2+y^2=19\\x^2+9y^2=6xy\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x^2+y^2=19\\x^2-6xy+9y^2=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x^2+y^2=19\\\left(x-3y\right)^2=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=3y\\2x^2+y^2=19\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=3y\\2\cdot\left(3y\right)^2+y^2=19\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}19y^2=19\\x=3y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y^2=1\\x=3y\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x=3\cdot1=3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x=3\cdot\left(-1\right)=-3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

bài 1:

a: \(P=\left(\dfrac{1+a\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}-\dfrac{\sqrt{a}-a}{1-\sqrt{a}}\right):\dfrac{1-a}{a+\sqrt{a}}\)

\(=\left(\dfrac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(a-\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}+1}-\dfrac{\sqrt{a}\left(1-\sqrt{a}\right)}{1-\sqrt{a}}\right):\dfrac{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}\)

\(=\left(a-\sqrt{a}+1-\sqrt{a}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}\)

\(=\dfrac{\left(1-\sqrt{a}\right)^2\cdot\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}=\sqrt{a}\left(1-\sqrt{a}\right)\)

b: Để P=-2 thì \(\sqrt{a}\left(1-\sqrt{a}\right)=-2\)

=>\(\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)=2\)

=>\(a-\sqrt{a}-2=0\)

=>\(\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+1\right)=0\)

=>\(\sqrt{a}-2=0\)

=>a=4(nhận)

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2+2\right)=2m-1\)

Pt có nghiệm khi \(2m-1\ge0\Rightarrow m\ge\dfrac{1}{2}\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m^2+2\end{matrix}\right.\)

\(x_1\left(x_2-1\right)=x_2\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2-x_1-x_2=0\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m^2+2-2\left(m+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0< \dfrac{1}{2}\left(loại\right)\\m=2\end{matrix}\right.\)

giúp em câu em vừa gửi dc ko ạ