\(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{2f\left(x\right)-x.f\left(2\right)}{x-2}=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{2f'\left(x\right)-f\left(2\right)}{1}=2f'\left(2\right)-f\left(2\right)\)

Ko, câu này bậc hàm khác 1 nên ko thế để tìm trực tiếp \(f\left(x\right)\) được

Thay \(x=1\) vào giả thiết \(\Rightarrow f^3\left(0\right)+f\left(0\right)=2\Rightarrow f\left(0\right)=1\)

Đạo hàm 2 vế giả thiết:

\(-3.f^2\left(1-x\right).f'\left(1-x\right)-2x.f'\left(1-x^2\right)=1\)

Thay \(x=1\)

\(\Rightarrow-3.f\left(0\right).f'\left(0\right)-2.f'\left(0\right)=1\)

\(\Rightarrow f'\left(0\right)=-\dfrac{1}{5}\)

Tiếp tuyến: \(y=-\dfrac{1}{5}x+1\)

Anh ơi! Thay x =1 chỗ này x có thể thay bằng giá trị bất kì ạ anh 

\(2f\left(2x\right)+f\left(1-2x\right)=12x^2=3.\left(2x\right)^2\) (1)

\(\Rightarrow2f\left(1-2x\right)+f\left(2x\right)=3\left(1-2x\right)^2\) (2)

Lấy \(\left(2\right)-2.\left(1\right)\) ta được:

\(-3.f\left(2x\right)=3\left(1-2x\right)^2-24x^2\)

\(\Rightarrow f\left(2x\right)=4x^2+4x-1=\left(2x\right)^2+2.\left(2x\right)-1\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=x^2+2x-1\)

Anh ơi! Dòng thứ 2 là như nào vậy ạ anh. Và bài này là hàm ẩn đúng không anh, cách làm như thế nào ạ anh, em có tham khảo youtube người ta giải cho x bằng 1 số nào đó, ví dụ là 0 rồi tìm f(0), đạo hàm 2 vế tìm f'(0) 

Đường thẳng d qua A có dạng: \(y=k\left(x-1\right)+m\)

Để d tiếp xúc (C)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=y'=3x^2+6x\\x^3+3x^2+1=k\left(x-1\right)+m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x^3+3x^2+1=\left(3x^2+6x\right)\left(x-1\right)+m\)

\(\Rightarrow m=-2x^3+6x+1\) (1)

3 tiếp tuyến \(\Rightarrow\) (1) có 3 nghiệm pb

Vẽ BBT \(\Rightarrow-3< m< 5\)

Gọi \(\alpha\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và trục hoành

\(\Rightarrow\left|tan\alpha\right|=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{1}{4}=\left|y'\right|\)

\(\Rightarrow\left|\dfrac{-3}{\left(x-1\right)^2}\right|=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2=\dfrac{3}{4}\)

Pt có 2 nghiệm nên có 2 tiếp tuyến

Pt đường thẳng d qua A có dạng: \(y=k\left(x-a\right)+1\)

Để (d) tiếp xúc (C) thì: \(\left\{{}\begin{matrix}k=y'=\dfrac{-1}{\left(x-1\right)^2}\\\dfrac{-x+2}{x-1}=k\left(x-a\right)+1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{-x+2}{x-1}=-\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}\left(x-a\right)+1\)

\(\Leftrightarrow a=-2x^2+6x-3\) (1)

Có 1 tiếp tuyến \(\Rightarrow\) (1) có 1 nghiệm (nghiệm kép hoặc có 2 nghiệm nhưng 1 nghiệm \(x=1\)) 

Anh giúp em ạ! 

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-ham-so-ydfrac2x-1x-1-co-bao-nhieu-tiep-tuyen-cat-truc-ox-oy-lan-luot-tai-hai-diem-a-va-b-thoa-man-dieu-kien-oa-4ob.8964401580578

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{3x+1}-2x}{x-1}=-\dfrac{5}{4}=f\left(1\right)\) nên hàm liên tục (có đạo hàm) tại \(x=1\)

\(f'\left(1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\dfrac{\sqrt{3x+1}-2x}{x-1}+\dfrac{5}{4}}{x-1}=\) nhiêu đó

Anh ơi dùng quy tắc l'hospital đạo hàm tử mẫu được không ạ anh, và chỉ áp dụng cho giới hạn đc thôi đúng không anh