Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Tại x=0x=0 ta có điều phải chứng minh

Giả sử tại x=kx=k thỏa mãn 

⇒133|(122k+1+11k+2)⇒133|(122k+1+11k+2)

Ta sẽ chứng minh tại n=k+1n=k+1 cũng thảo mãn 

⇒122n+1+11n+2=122k+1.144+11k+2.11=[11(122k+1+11k+2)+133.122k+1]⋮133⇒122n+1+11n+2=122k+1.144+11k+2.11=[11(122k+1+11k+2)+133.122k+1]⋮133

Vậy ta có Q.E.DQ.E.D

Nhát chém mạnh vào quy nạp: ĐỒNG DƯ ĐÂY!

Ta có: 122n+1+11n+2=133(144n+11n)−(112144n+12.11n)122n+1+11n+2=133(144n+11n)−(112144n+12.11n)

Ta chỉ cần chứng minh:112144n+12.11n112144n+12.11n chia hết cho 133.Ta có:

112144n≡11n+2112144n≡11n+2(mod 133)(1)

Ta lại có:12≡−11212≡−112(mod 133)

⇔12.11n≡−11n+2⇔12.11n≡−11n+2(mod 133)(2)

Cộng (1) và (2), ta có đpcm. 

Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Tại x=0x=0 ta có điều phải chứng minh

Giả sử tại x=kx=k thỏa mãn 

⇒133|(122k+1+11k+2)⇒133|(122k+1+11k+2)

Ta sẽ chứng minh tại n=k+1n=k+1 cũng thảo mãn 

⇒122n+1+11n+2=122k+1.144+11k+2.11=[11(122k+1+11k+2)+133.122k+1]⋮133⇒122n+1+11n+2=122k+1.144+11k+2.11=[11(122k+1+11k+2)+133.122k+1]⋮133

Vậy ta có Q.E.DQ.E.D

Nhát chém mạnh vào quy nạp: ĐỒNG DƯ ĐÂY!

Ta có: 122n+1+11n+2=133(144n+11n)−(112144n+12.11n)122n+1+11n+2=133(144n+11n)−(112144n+12.11n)

Ta chỉ cần chứng minh:112144n+12.11n112144n+12.11n chia hết cho 133.Ta có:

112144n≡11n+2112144n≡11n+2(mod 133)(1)

Ta lại có:12≡−11212≡−112(mod 133)

⇔12.11n≡−11n+2⇔12.11n≡−11n+2(mod 133)(2)

Cộng (1) và (2), ta có \(đpcm\) 

Bổ đề: Xét tam giác ABC (BC = a, CA = b; AB = c). Nếu a² = b(b+c) thì ^BAC = 2^ABC.

Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho ^CAM = ^CBA. Khi đó \(\Delta\)CMA ~ \(\Delta\)CAB (g.g) => CA² = CM.CB

Hay b² = a.CM. Thay vào a² = b(b+c) ta được a² = a.CM + bc <=> a(a - CM) = bc

<=> a.BM = bc => BM = \(\frac{bc}{a}\). Cũng từ \(\Delta\)CMA ~ \(\Delta\)CAB suy ra \(\frac{AM}{BA}=\frac{CA}{CB}\)

Hay \(\frac{AM}{c}=\frac{b}{a}\)=> AM = \(\frac{bc}{a}\)= BM => \(\Delta\)AMB cân tại M => ^ABC = ^MAB = ^CAM = ^BAC/2

Quay trở lại bài toán:

a) Ta có \(\frac{1}{CD}-\frac{1}{BD}=\frac{1}{CD+BD}\Leftrightarrow\frac{CD+BD}{CD}-\frac{CD+BD}{BD}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{BD}{CD}-\frac{CD}{BD}=1\Leftrightarrow\frac{CD}{BD}=\frac{BD}{CD}-1=\frac{BC}{CD}\Rightarrow CD^2=BC.BD\)

\(\Rightarrow CD^2=BC\left(BC+CD\right)\) hoặc \(AC^2=BC\left(BC+AB\right)\)

Áp dụng bổ đề vào \(\Delta\)ABC ta được ^ABC = 2^BAC. Do \(\Delta\)ABC cân tại A nên:

^BAC = 180⁰ - 2^ABC => ^BAC = 180⁰ - 4^BAC => 5^BAC = 180⁰ => ^BAC = 36⁰ . Vậy ...

b) Dễ có ^ACD = 108⁰ => ^CAD = ^CDA = 36⁰ => \(\Delta\)BAD cân tại D => BD = AD

Xét \(\Delta\)ABC và \(\Delta\)DBA: ^BAC = ^BDA (=36⁰), ^B chung => \(\Delta\)ABC ~ \(\Delta\)BDA (g.g)

=> AB² = BC.BD = BC.AD (Vì BD = AD) (đpcm).

\(ab+4=\left(11...1.10+5\right)\left(11...1.10+9\right)+4=\left(\frac{10^n-1}{9}.10+5\right)\left(\frac{10^n-1}{9}.10+9\right)+4.\)

\(=\left(\frac{10^{n+1}-10+45}{9}\right)\left(\frac{10^{n+1}-10+81}{9}\right)+4=\frac{\left(10^{n+1}+35\right)\left(10^{n+1}+71\right)+324}{81}\)\

\(=\frac{10^{2n+2}+106.10^{n+1}+2809}{81}=\frac{\left(10^{n+1}+53\right)^2}{81}=\left(\frac{10^{n+1}+53}{9}\right)^2\)

\(10^{n+1}+53=100...053\)(n-1 chữ số 0) có tổng các c/s=1+0+5+3=9

\(\Rightarrow10^{n+1}+53⋮9\Rightarrow\frac{10^{n+1}+53}{9}\in Z\)

=>ab+4 là số chính phương

Tham khảo tại :

Câu hỏi của Cô gái đến từ tương lai - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

_Minh ngụy_

12.( 5² + 1 ).( 5⁴ + 1 ).( 5⁸ + 1 ).( 5¹⁶ + 1 )

= \(\frac{1}{2}.2\). 12.( 5² + 1 ).( 5⁴ + 1 ).( 5⁸ + 1 ).( 5¹⁶ + 1 )

= \(\frac{1}{2}\).( 5² - 1 ).(5²+1).( 5⁴ + 1 ).( 5⁸ + 1 ).( 5¹⁶ + 1 )

= \(\frac{1}{2}\).( 5⁴ - 1 ).( 5⁴ + 1 ).( 5⁸ + 1 ).( 5¹⁶ + 1 )

=\(\frac{1}{2}\).( 5⁸ - 1 ).( 5⁸ + 1 ).( 5¹⁶ + 1 )

=\(\frac{1}{2}\).( 5¹⁶ - 1 ).( 5¹⁶ + 1 )

=\(\frac{1}{2}\).( 5³² - 1 )

=\(\frac{5^{32}-1}{2}\)

a) 4x² - 2x + 3 - 4x(x - 5) = 7x - 3

=> 4x² - 2x + 3 - 4x² + 20x = 7x - 3

=> 18x + 3 = 7x - 3

=> 18x - 7x = -3 - 3

=> 11x = -6

=>  x = -6/11

b) -3x(x - 5) + 5(x - 1) + 3x² = 4x

=> -3x² + 15x + 5x - 5 + 3x² = 4x

=> 20x - 5 = 4x

=> 20x - 4x = 5

=> 16x = 5

=> x = 5/16

\(c,7x\left(x-2\right)-5\left(x-1\right)=21x^2-14x^2+3\)

\(\Leftrightarrow7x^2-14x-5x+5=7x^2+3\)

\(\Leftrightarrow7x^2-7x^2-19x=3-5\)

\(\Leftrightarrow-19x=-2\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{2}{19}\)

a) 4x²  - 2x + 3 - 4x.(x - 5) = 7x - 3

--> 4x² - 2x + 3 - 4x² + 20x = 7x - 3

--> 4x² - 2x - 4x² + 20x - 7x = -3 - 3

--> 11x = -6

--> x = \(\frac{-6}{11}\)

b) -3x.(x - 5) + 5.(x - 1) + 3x² = 4x

--> -3x² + 15x + 5x - 5 + 3x² = 4x

--> -3x²  + 15x + 5x + 3x² - 4x = 5 

--> 16x = 5

--> x = \(\frac{5}{16}\)

c) 7x.(x - 2) - 5.(x - 1) = 21x² - 14x² + 3

--> 7x² - 14x - 5x + 5 = 7x² + 3 

--> 7x²  - 14x - 5x - 7x²  = -5 + 3 

--> -19x = -2 

--> x = \(\frac{2}{19}\)

d) 3.(5x - 1) - x.(x - 2) + x² - 13x = 7

--> 15x - 3 - x² + 2x + x² - 13x = 7

--> 15x - x² + 2x + x² - 13x = 3 + 7

--> 4x = 10

--> x = \(\frac{5}{2}\)

e) \(\frac{1}{5}\)x.(10x - 15) - 2x.(x - 5) = 12

--> 2x² - 3x - 2x² + 10x = 12

--> 7x = 12

--> x = \(\frac{12}{7}\)

~ Học tốt ~

#)Giải :

(Làm ngắn gọn)

\(VT=7\left(25^n-6^n\right)+19.6^n\)

Dễ thấy \(25^n-6^n⋮\left(25-16\right)=19\)

\(\Rightarrowđpcm\)

#)Giải : 

Đặt \(A=7,5^{2n}+12,6^n\)

Với \(n=0\Rightarrow A\left(0\right)=19⋮19\)

Giả sử \(A\left(n\right)⋮19\)với \(n=k\Rightarrow A\left(k\right)=7.5^{2k}+12.6^k⋮19\)

Ta đi chứng minh \(A\left(n\right)⋮19\)với \(n=k+1\)

\(\Rightarrow A\left(k+1\right)=7.5^{2\left(k+1\right)}+12.6^{k+1}\)

\(\Rightarrow A\left(k+1\right)=7.5^{2k}.5^2+12.6^n.6\)

\(\Rightarrow A\left(k+1\right)=7.5^{2k}.6+7.5^{2k}.19+12.6^n.6\)

\(\Rightarrow6A\left(k\right)+7.5^{2k}.19⋮19\)

\(\Rightarrow7.5^{2n}+12.6^n⋮19\)

\(\Rightarrowđpcm\)