CMR:11n+2+12n+1 chia hết cho 133
~~##helpme~~~##
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bổ đề: Xét tam giác ABC (BC = a, CA = b; AB = c). Nếu a2 = b(b+c) thì ^BAC = 2^ABC.
Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho ^CAM = ^CBA. Khi đó \(\Delta\)CMA ~ \(\Delta\)CAB (g.g) => CA2 = CM.CB
Hay b2 = a.CM. Thay vào a2 = b(b+c) ta được a2 = a.CM + bc <=> a(a - CM) = bc
<=> a.BM = bc => BM = \(\frac{bc}{a}\). Cũng từ \(\Delta\)CMA ~ \(\Delta\)CAB suy ra \(\frac{AM}{BA}=\frac{CA}{CB}\)
Hay \(\frac{AM}{c}=\frac{b}{a}\)=> AM = \(\frac{bc}{a}\)= BM => \(\Delta\)AMB cân tại M => ^ABC = ^MAB = ^CAM = ^BAC/2
Quay trở lại bài toán:
a) Ta có \(\frac{1}{CD}-\frac{1}{BD}=\frac{1}{CD+BD}\Leftrightarrow\frac{CD+BD}{CD}-\frac{CD+BD}{BD}=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{BD}{CD}-\frac{CD}{BD}=1\Leftrightarrow\frac{CD}{BD}=\frac{BD}{CD}-1=\frac{BC}{CD}\Rightarrow CD^2=BC.BD\)
\(\Rightarrow CD^2=BC\left(BC+CD\right)\) hoặc \(AC^2=BC\left(BC+AB\right)\)
Áp dụng bổ đề vào \(\Delta\)ABC ta được ^ABC = 2^BAC. Do \(\Delta\)ABC cân tại A nên:
^BAC = 1800 - 2^ABC => ^BAC = 1800 - 4^BAC => 5^BAC = 1800 => ^BAC = 360 . Vậy ...
b) Dễ có ^ACD = 1080 => ^CAD = ^CDA = 360 => \(\Delta\)BAD cân tại D => BD = AD
Xét \(\Delta\)ABC và \(\Delta\)DBA: ^BAC = ^BDA (=360), ^B chung => \(\Delta\)ABC ~ \(\Delta\)BDA (g.g)
=> AB2 = BC.BD = BC.AD (Vì BD = AD) (đpcm).
\(ab+4=\left(11...1.10+5\right)\left(11...1.10+9\right)+4=\left(\frac{10^n-1}{9}.10+5\right)\left(\frac{10^n-1}{9}.10+9\right)+4.\)
\(=\left(\frac{10^{n+1}-10+45}{9}\right)\left(\frac{10^{n+1}-10+81}{9}\right)+4=\frac{\left(10^{n+1}+35\right)\left(10^{n+1}+71\right)+324}{81}\)\
\(=\frac{10^{2n+2}+106.10^{n+1}+2809}{81}=\frac{\left(10^{n+1}+53\right)^2}{81}=\left(\frac{10^{n+1}+53}{9}\right)^2\)
\(10^{n+1}+53=100...053\)(n-1 chữ số 0) có tổng các c/s=1+0+5+3=9
\(\Rightarrow10^{n+1}+53⋮9\Rightarrow\frac{10^{n+1}+53}{9}\in Z\)
=>ab+4 là số chính phương
Tham khảo tại :
Câu hỏi của Cô gái đến từ tương lai - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
_Minh ngụy_
12.( 52 + 1 ).( 54 + 1 ).( 58 + 1 ).( 516 + 1 )
= \(\frac{1}{2}.2\). 12.( 52 + 1 ).( 54 + 1 ).( 58 + 1 ).( 516 + 1 )
= \(\frac{1}{2}\).( 52 - 1 ).(52+1).( 54 + 1 ).( 58 + 1 ).( 516 + 1 )
= \(\frac{1}{2}\).( 54 - 1 ).( 54 + 1 ).( 58 + 1 ).( 516 + 1 )
=\(\frac{1}{2}\).( 58 - 1 ).( 58 + 1 ).( 516 + 1 )
=\(\frac{1}{2}\).( 516 - 1 ).( 516 + 1 )
=\(\frac{1}{2}\).( 532 - 1 )
=\(\frac{5^{32}-1}{2}\)
a) 4x2 - 2x + 3 - 4x(x - 5) = 7x - 3
=> 4x2 - 2x + 3 - 4x2 + 20x = 7x - 3
=> 18x + 3 = 7x - 3
=> 18x - 7x = -3 - 3
=> 11x = -6
=> x = -6/11
b) -3x(x - 5) + 5(x - 1) + 3x2 = 4x
=> -3x2 + 15x + 5x - 5 + 3x2 = 4x
=> 20x - 5 = 4x
=> 20x - 4x = 5
=> 16x = 5
=> x = 5/16
\(c,7x\left(x-2\right)-5\left(x-1\right)=21x^2-14x^2+3\)
\(\Leftrightarrow7x^2-14x-5x+5=7x^2+3\)
\(\Leftrightarrow7x^2-7x^2-19x=3-5\)
\(\Leftrightarrow-19x=-2\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{2}{19}\)
a) 4x2 - 2x + 3 - 4x.(x - 5) = 7x - 3
--> 4x2 - 2x + 3 - 4x2 + 20x = 7x - 3
--> 4x2 - 2x - 4x2 + 20x - 7x = -3 - 3
--> 11x = -6
--> x = \(\frac{-6}{11}\)
b) -3x.(x - 5) + 5.(x - 1) + 3x2 = 4x
--> -3x2 + 15x + 5x - 5 + 3x2 = 4x
--> -3x2 + 15x + 5x + 3x2 - 4x = 5
--> 16x = 5
--> x = \(\frac{5}{16}\)
c) 7x.(x - 2) - 5.(x - 1) = 21x2 - 14x2 + 3
--> 7x2 - 14x - 5x + 5 = 7x2 + 3
--> 7x2 - 14x - 5x - 7x2 = -5 + 3
--> -19x = -2
--> x = \(\frac{2}{19}\)
d) 3.(5x - 1) - x.(x - 2) + x2 - 13x = 7
--> 15x - 3 - x2 + 2x + x2 - 13x = 7
--> 15x - x2 + 2x + x2 - 13x = 3 + 7
--> 4x = 10
--> x = \(\frac{5}{2}\)
e) \(\frac{1}{5}\)x.(10x - 15) - 2x.(x - 5) = 12
--> 2x2 - 3x - 2x2 + 10x = 12
--> 7x = 12
--> x = \(\frac{12}{7}\)
~ Học tốt ~
#)Giải :
(Làm ngắn gọn)
\(VT=7\left(25^n-6^n\right)+19.6^n\)
Dễ thấy \(25^n-6^n⋮\left(25-16\right)=19\)
\(\Rightarrowđpcm\)
#)Giải :
Đặt \(A=7,5^{2n}+12,6^n\)
Với \(n=0\Rightarrow A\left(0\right)=19⋮19\)
Giả sử \(A\left(n\right)⋮19\)với \(n=k\Rightarrow A\left(k\right)=7.5^{2k}+12.6^k⋮19\)
Ta đi chứng minh \(A\left(n\right)⋮19\)với \(n=k+1\)
\(\Rightarrow A\left(k+1\right)=7.5^{2\left(k+1\right)}+12.6^{k+1}\)
\(\Rightarrow A\left(k+1\right)=7.5^{2k}.5^2+12.6^n.6\)
\(\Rightarrow A\left(k+1\right)=7.5^{2k}.6+7.5^{2k}.19+12.6^n.6\)
\(\Rightarrow6A\left(k\right)+7.5^{2k}.19⋮19\)
\(\Rightarrow7.5^{2n}+12.6^n⋮19\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Tại x=0x=0 ta có điều phải chứng minh
Giả sử tại x=kx=k thỏa mãn
⇒133|(122k+1+11k+2)⇒133|(122k+1+11k+2)
Ta sẽ chứng minh tại n=k+1n=k+1 cũng thảo mãn
⇒122n+1+11n+2=122k+1.144+11k+2.11=[11(122k+1+11k+2)+133.122k+1]⋮133⇒122n+1+11n+2=122k+1.144+11k+2.11=[11(122k+1+11k+2)+133.122k+1]⋮133
Vậy ta có Q.E.DQ.E.D
Nhát chém mạnh vào quy nạp: ĐỒNG DƯ ĐÂY!
Ta có: 122n+1+11n+2=133(144n+11n)−(112144n+12.11n)122n+1+11n+2=133(144n+11n)−(112144n+12.11n)
Ta chỉ cần chứng minh:112144n+12.11n112144n+12.11n chia hết cho 133.Ta có:
112144n≡11n+2112144n≡11n+2(mod 133)(1)
Ta lại có:12≡−11212≡−112(mod 133)
⇔12.11n≡−11n+2⇔12.11n≡−11n+2(mod 133)(2)
Cộng (1) và (2), ta có đpcm.
Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Tại x=0x=0 ta có điều phải chứng minh
Giả sử tại x=kx=k thỏa mãn
⇒133|(122k+1+11k+2)⇒133|(122k+1+11k+2)
Ta sẽ chứng minh tại n=k+1n=k+1 cũng thảo mãn
⇒122n+1+11n+2=122k+1.144+11k+2.11=[11(122k+1+11k+2)+133.122k+1]⋮133⇒122n+1+11n+2=122k+1.144+11k+2.11=[11(122k+1+11k+2)+133.122k+1]⋮133
Vậy ta có Q.E.DQ.E.D
Nhát chém mạnh vào quy nạp: ĐỒNG DƯ ĐÂY!
Ta có: 122n+1+11n+2=133(144n+11n)−(112144n+12.11n)122n+1+11n+2=133(144n+11n)−(112144n+12.11n)
Ta chỉ cần chứng minh:112144n+12.11n112144n+12.11n chia hết cho 133.Ta có:
112144n≡11n+2112144n≡11n+2(mod 133)(1)
Ta lại có:12≡−11212≡−112(mod 133)
⇔12.11n≡−11n+2⇔12.11n≡−11n+2(mod 133)(2)
Cộng (1) và (2), ta có \(đpcm\)