Số phần công việc hai người công nhân làm trong 1 giờ là

                   1 : 8 = 1/8 ( công việc )

Số phần công việc người thứ nhất làm nhiều hơn người thứ hai trong 1 giờ là 

                   1 : 12 = 1/12 ( công việc )

Trong 1 giờ người thứ nhất làm được số phần công việc là

                   ( 1/8 - 1/12 ) : 2 = 1/48 ( công việc )

Số thời gian người thứ nhất làm xong công việc là

                  1: 1/48 = 48 ( giờ )

Số thời gian người thứ hai làm xong công việc là

                 48 - 12 = 36 ( giờ )

                   ĐS   NT1   48 gio

                          NT2  36 giờ

\(\left(100+\frac{99}{2}+\frac{98}{3}+...+\frac{1}{100}\right):\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{101}\right)-2\)

\(=\frac{\left[\left(\frac{99}{2}+1\right)+\left(\frac{98}{3}+1\right)+...+\left(\frac{1}{100}+1\right)+\frac{101}{101}\right]}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{101}}-2\)

\(=\frac{\frac{101}{2}+\frac{101}{3}+...+\frac{101}{100}+\frac{101}{101}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{101}}-2\)

\(=\frac{101.\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{101}\right)}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{101}}-2\)

\(=101-2\)( vì \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{101}\ne0\))

\(=99\)

Tham khảo nhé~

P/S: Sai thì thôi nhé

Để \(\sqrt{x^2-3}\)có nghĩa

\(\Rightarrow x^2-3\ge0\)

\(\Rightarrow x^2\ge3\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x\ge\sqrt{3}\\x\le-\sqrt{3}\end{cases}}\)

Vậy \(x\ge\sqrt{3}\)hoặc \(x\le-\sqrt{3}\)

m.n thấy sai thì sửa hộ mk nhé! Thanks~

BĐT cần c/m tương đương với:

\(\left(\frac{a^2+b^2}{a+b}-\frac{a+b}{2}\right)+\left(\frac{b^2+c^2}{b+c}-\frac{b+c}{2}\right)+\left(\frac{c^2+a^2}{c+a}-\frac{c+a}{2}\right)\ge3-a-b-c\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{\left(a-b\right)^2}{2\left(a+b\right)}+\frac{\left(b-c\right)^2}{2\left(b+c\right)}+\frac{\left(c-a\right)^2}{2\left(c+a\right)}\ge3-a-b-c\)

Ta có:  \(3-a-b-c=\frac{9-\left(a+b+c\right)^2}{3+a+b+c}=\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)^2}{3+a+b+c}\)

\(=\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{3+a+b+c}\le\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)

Ta cần chứng minh:

\(\frac{\left(a-b\right)^2}{2\left(a+b\right)}+\frac{\left(b-c\right)^2}{2\left(b+c\right)}+\frac{\left(c-a\right)^2}{2\left(c+a\right)}\ge\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{c\left(a-b\right)^2}{2\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)}+\frac{a\left(b-c\right)^2}{2\left(b+c\right)\left(a+b+c\right)}+\frac{b\left(c-a\right)^2}{2\left(c+a\right)\left(a+b+c\right)}\ge0\) đúng

Vậy BĐT đc c/m

Theo định lý  Rolle ta thấy tồn tại các số dương x, y ,z sao cho:

\(abc+bcd+cda+dab=4xyz\)

\(ab+ac+ad+bc+bd+cd=2\left(xy+yz+xz\right)\)

Như vậy BĐT cần c/m trở thành:

\(\sqrt[3]{xyz}\le\sqrt{\frac{xy+yz+zx}{3}}\)  đúng theo BĐT AM - GM

Vậy BĐT đã cho đc c/m

trong câu hỏi tương tự cũng có đó, bạn vào tham khảo nha

Áp dụng BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{1}{1-bc}\le\frac{1}{1-\frac{\left(b+c\right)^2}{4}}=\frac{4}{4-\left(b+c\right)^2}=1+\frac{\left(b+c\right)^2}{4-\left(b+c\right)^2}\)

               \(\le1+\frac{\left(b+c\right)^2}{4-2\left(b+c\right)^2}=1+\frac{\left(b+c\right)^2}{4\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(b^2+c^2\right)}\)

               \(=1+\frac{\left(b+c\right)^2}{2\left[\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+c^2\right)\right]}\le1+\frac{b^2}{2\left(a^2+b^2\right)}+\frac{c^2}{2\left(b^2+c^2\right)}\)

Tương tự ta có:

\(\frac{1}{1-ca}\le1+\frac{c^2}{2\left(b^2+c^2\right)}+\frac{a^2}{2\left(b^2+a^2\right)}\)

\(\frac{1}{1-ab}\le1+\frac{a^2}{2\left(c^2+a^2\right)}+\frac{b^2}{2\left(c^2+b^2\right)}\)

Cộng theo vế ta được:

\(\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}+\frac{1}{1-ab}\le3+\frac{a^2+b^2}{2\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^2+c^2}{2\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^2+a^2}{2\left(c^2+a^2\right)}=\frac{9}{2}\)

Vậy BĐT đc c/m

 \(BDT\Leftrightarrow\frac{\sqrt{a-9}}{a}+\frac{\sqrt{b-4}}{b}+\frac{\sqrt{c-1}}{c}\le\frac{11}{12}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(VT=\frac{\sqrt{9\left(a-9\right)}}{3a}+\frac{\sqrt{4\left(b-4\right)}}{2b}+\frac{\sqrt{1\left(c-1\right)}}{c}\)

\(\le\frac{\frac{9+\left(a-9\right)}{2}}{3a}+\frac{\frac{4+\left(b-4\right)}{2}}{2b}+\frac{\frac{1+\left(c-1\right)}{2}}{c}\)

\(=\frac{1}{6}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{11}{12}=VP\)

Dấu "=" khi \(a=18;b=8;c=2\)

Gợi ý: Mấy bài dạng này bạn tìm một hằng số để nhân thêm vào để rút gọn mất các biến a,b,c nhé.