Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với \(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)và chú ý

\(\frac{a^2\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)}{a^2+ab+b^2}=a^2+\frac{ca^2\left(a+b+c\right)}{a^2+ab+b^2}\)

ta sẽ đưa điều phải chứng minh trở thành

\(\text{Σ}_{cyc}\left(a^2+\frac{ca^2\left(a+b+c\right)}{a^2+ab+b^2}\right)\ge a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)

hay là \(\frac{ca^2}{a^2+ab+b^2}+\frac{ab^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{bc^2}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}\)

Ta có thể thấy ngay bđt này hiển nhiên đúng theo bđt Cauchy - Schwarz:

\(\text{Σ}\frac{ca^2}{a^2+ab+b^2}=\text{Σ}\frac{c^2a^2}{c\left(a^2+ab+b^2\right)}\ge\frac{\left(\text{Σ}ca\right)^2}{\text{Σ}c\left(a^2+ab+b^2\right)}=\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Đặt \(x=\frac{b}{a};y=\frac{c}{b};z=\frac{a}{c}\Rightarrow xyz=1\). BĐT đưa về:

\(\frac{1}{x^2+x+1}+\frac{1}{y^2+y+1}+\frac{1}{z^2+z+1}\ge1\) thật quen thuộc.

Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{uv}{w^2};\frac{vw}{u^2};\frac{uw}{v^2}\right)\). Chứng minh: \(\Sigma_{cyc}\frac{w^4}{u^2v^2+w^2uv+w^4}\ge1\)

. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel và chú ý: \(uvw\left(u+v+w\right)\le u^2v^2+v^2w^2+w^2u^2\)

\(VT\ge\frac{\left(u^2+v^2+w^2\right)^2}{u^4+v^4+w^4+u^2v^2+v^2w^2+w^2u^2+uvw\left(u+v+w\right)}\ge1\)

Ta có:

       \(2x^2+2x+1=\sqrt{4x+1}\) \(\left(x\ge-\frac{1}{4}\right)\)

<=> \(\left(2x^2+2x+1\right)^2=\sqrt{\left(4x+1\right)}^2\) 

<=>  \(4x^4+4x^2+1+8x^3+4x^2+4x=4x+1\) 

<=>  \(4x^4+8x^3+8x^2=0\)

<=>  \(4x^2\left(x^2+2x+2\right)=0\)

<=>   \(4x^2=0\)hoặc \(x^2+2x+2=0\)

* \(4x^2=0\)<=>  \(x^2=0\)<=>  \(x=0\)

*  \(x^2+2x+2=0\)

<=>  \(\left(x+1\right)^2+1=0\)

<=>   \(\left(x+1\right)^2=-1\)( vô lý )

=> Phương trình vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{0\right\}\)

nguoc dau ?

Câu hỏi của Min - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

xin link