a: Xét (O) có

ΔADB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔADB vuông tại D

=>AD\(\perp\)BC tại D

Xét tứ giác ACDH có \(\widehat{AHC}=\widehat{ADC}=90^0\)

nên ACDH là tứ giác nội tiếp

Lời giải:

Ta thấy $\Delta=(m+1)^2+16>0$ với mọi $m$ nên pt luôn có 2 nghiệm pb $x_1,x_2$ với mọi $m\in\mathbb{R}$

Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=m+1$

$x_1x_2=-4$

$\Rightarrow x_1,x_2\neq 0$
Khi đó:

$x_1^2=2x_2$
$\Leftrightarrow x_1^2=2.\frac{-4}{x_1}$

$\Leftrightarrow x_1^3=-8=(-2)^3$
$\Leftrightarrow x_1=-2$

$\Leftrightarrow x_2=\frac{-4}{x_1}=2$

$m+1=x_1+x_2=(-2)+2=0\Leftrightarrow m=-1$

Lời giải:

Từ PT (1) suy ra $y=mx-2$

Thay vào PT(2): $7x+m(mx-2)=5$

$\Leftrightarrow x(m^2+7)=2m+5$
$\Leftrightarrow x=\frac{2m+5}{m^2+7}$

$y=mx-2=\frac{2m^2+5m}{m^2+7}-2=\frac{5m-14}{m^2+7}$
Vậy HPT luôn có nghiệm duy nhất $(x,y)=(\frac{2m+5}{m^2+7}, \frac{5m-14}{m^2+7})$ với mọi $m\in\mathbb{R}$

Lời giải:

Tung độ, hoành độ của giao điểm 2 đt $(d_1), (d_2)$ là nghiệm của hpt:

\(\left\{\begin{matrix} 2x+5y=17\\ 3x-2y=-22\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-4\\ y=5\end{matrix}\right.\)

Vậy $(-4,5)$ là giao điểm 2 đt $(d_1), (d_2)$

$(d)$ đi qua $M(7,-6)$ khi mà:

$a.7-b(-6)=7$

$\Leftrightarrow 7a+6b=7(1)$

$(d)$ đi qua $(-4,5)$ khi mà:

$a(-4)-5b=7$

$\Leftrightarrow 4a+5b=-7(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow a=7; b=-7$

Lời giải:

1. Gọi $O$ là trung điểm $AH$. Hay $O$ chính là tâm đường tròn đường kính $AH$.

Ta thấy $OK=OI=R$ và $O,K,I$ thẳng hàng nên $O$ là trung điểm $KI$

Tứ giác $AKHI$ có 2 đường chéo $KI, AH$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường nên $AKHI$ là hbh.

Mà $\widehat{A}=90^0$ nên $AKHI$ là hcn.

2.

Vì $AKHI$ là hcn nên $\widehat{AKI}=\widehat{AHI}(1)$

Cũng vì $AKHI$ là hcn nên $\widehat{HIA}=90^0$

$\Rightarrow \widehat{AHI}=90^0-\widehat{HAI}=90^0-\widehat{HAC}=\widehat{HCA}=\widehat{BCI}(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow \widehat{AKI}=\widehat{BCI}$
$\Rightarrow BKIC$ là tgnt.

3.

Vì $HN\perp OH$ nên $HN$ là tiếp tuyến tại $H$ của đường tròn $(O)$

Xét tam giác $NHK$ và $NIH$ có:

$\widehat{N}$ chung

$\widehat{NHK}=\widehat{NIK}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nt chắn cung đó - ở đây là cung $KH$)

$\Rightarrow \triangle NHK\sim \triangle NIH$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{NH}{NK}=\frac{NI}{NH}\Rightarrow NH^2=NK.NI$

4. Gọi $T$ là giao điểm $AM$ và $IK$

Vì $AM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông $ABC$ nên $AM=\frac{BC}{2}=AC$

$\Rightarrow \widehat{MAC}=\widehat{MCA}$ hay $\widehat{TAI}=\widehat{HCA}(3)$

Vì $AKHI$ là hcn nên:

$\widehat{TIA}=\widehat{OIA}=\widehat{OAI}=\widehat{HAC}(4)$

Từ $(3); (4)\Rightarrow \widehat{TAI}+\widehat{TIA}=\widehat{HCA}+\widehat{HAC}=90^0$

$\Rightarrow TIA$ là tam giác vuông tại $T$

$\Rightarrow AM\perp IK$

Hình vẽ: