#)Giải :

Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số không âm :

\(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{a+b}{4}=\frac{a+b}{2}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\ge\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\left(1\right)\)

Ta có: \(\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\Leftrightarrow\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\ge\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)

\(\Leftrightarrow a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\Leftrightarrow a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}+b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\Leftrightarrow\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrowđpcm\)

a) Vì BC đi qua trung điểm HM 

=>M là đối xứng với H qua BC 

=> BC là trung trực HM

=> BM = BH 

=> CM = CH 

Xét ∆BHD và ∆BMC ta có : 

BC chung 

BH = BM 

CH = CM 

=> ∆BHD = ∆BMC (c.c.c)

b)  Gọi giao điểm của BH và AC là D 

Giao điểm của CH và AB là E 

Vì H là trực tâm ∆ABC 

=> CE\(\perp\)AB 

=> BD \(\perp\)AC 

Xét tứ giác AEHD ta có : 

EAD + ADH + DHE + AEH = 360° 

=> EHD = 360° - ( 70° + 90° + 90° ) = 110° 

Vì EHD = BHC = 110° (đối đỉnh )

Vì ∆BHC = ∆BMC (cmt)

=> BHC = BMC = 110° 

Dùng bđt Cosy nha mn!

#)Giải :

Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{ab}{c}=x\\\frac{bc}{a}=y\\\frac{ca}{b}=z\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2=xz\\b^2=xy\\c^2=yz\end{cases}}\Rightarrow xy+yz+xz=3}\)

Theo hệ quả của BĐT Cauchy :

\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)=9\)

\(\Rightarrow x+y+z\ge3\) hay \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge3\left(đpcm\right)\)

Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow\) a = b = c = 1

phân tích đa thức thành nhân tử

\(\text{3(x^2+\frac{4}{3}+\frac{4}{9}-\frac{49}{9})=3((X+\frac{2}{3})^2}-\frac{49}{9}\)

 qua facebook BnoHi mình chỉ trực tiếp

                                                           Bài giải

Đặt \(A=3x^2+4x-5\)

\(=x\left(3x+4\right)-5\)

\(A\text{ đạt }GTNN\text{ khi }x\left(3x+4\right)\text{ đạt }GTNN\)

\(\text{Mà }x\left(3x+4\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\text{ GNTT của }A=0\)

                 \(\Leftrightarrow\text{ }x=0\)

Vậy \(GTNN\text{ của }3x^2+4x-5\text{ là }0\)

phân tích thôi mà  qua facebook BnoHi mình chỉ 

Theo bất đẳng thức AM-GM:3xy=3.x.y.1=3\(\sqrt[3]{x^3.y^3.1}\)\(\le\)x³+y³+1 (1)

Tương tự như vậy:3yz\(\le\)y³+z³+1(2) ;3zx\(\le\)z³+x³+1(3)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3), ta được:

3xy+3yz+3zx\(\le\)2(x³+y³+z³)+3

Tương đương với P-xyz\(\le\)2.6+3=9

Hay P\(\le\)xyz+9

Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM: 3=x³+y³+z³\(\ge\)3xyz

Do đó xyz\(\le\)1

Suy ra P\(\le\)10

Vậy MaxP=10 đạt được khi x=y=z=1