Giả sử  \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{3}{2}\)

\(< =>\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=\frac{6}{2}=3\)(bđt nesbitt)

Giờ ta chỉ cần chỉ ra được \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\) thì bài toán được hoàn tất chứng minh  

Thật vậy , theo BĐT Cauchy ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}=3\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)

Vậy bài toán đã được hoàn tất chứng minh 

p/s : tí mình sẽ chứng minh bđt nesbitt ở dưới nhé

BĐT cần CM <=>    \(\frac{a}{b}-\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c}-\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a}-\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)

<=>   \(\frac{ac}{b\left(b+c\right)}+\frac{ab}{c\left(c+a\right)}+\frac{bc}{a\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}\)       (1)

Đặt:   \(A=\frac{ab}{c\left(c+a\right)}+\frac{bc}{a\left(a+b\right)}+\frac{ca}{b\left(b+c\right)}\)

\(A=\frac{a^2b^2}{abc\left(c+a\right)}+\frac{b^2c^2}{abc\left(a+b\right)}+\frac{c^2a^2}{abc\left(b+c\right)}\)

ÁP DỤNG BĐT CAUCHY - SCHWARZ SẼ ĐƯỢC:   

=>    \(A\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc\left(a+b+b+c+c+a\right)}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2abc\left(a+b+c\right)}\)    

TA TIẾP TỤC 1 BĐT:    \(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\)

=>    \(A\ge\frac{3abc\left(a+b+c\right)}{2abc\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\)         (2)

TỪ (1) VÀ (2) => TA CÓ ĐPCM.

vẫn bình thường bn à 

Oki v hã :">

Câu 1 

Xét tam giác OAC ta có

AC = OA = OC ( gt )

=> tam giác OAC là tam giác đều

=>\(\widehat{CAB}=60^0\)

\(\widehat{ACB}=90^0\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

=> \(\widehat{ABC}=180^0-90^0-60^0=30^0\)

Vậy ..............

P/s hình hơi xấu thông cảm

Câu 2 )

Xét tam giác vuông KCB , ta có :

EC = EK ( gt )

MB = MC ( gt)

=>EM là đường trung bình của tam giác KCB

=> \(\widehat{BKC}=\widehat{MEC}=90^0\)

Chứng minh tương tự : Xét tam giác ECB 

=> \(\widehat{CIB}=\widehat{MPB}=90^0\)

Xét tứ giác BIKC , ta có:

\(\widehat{BKC}\)và \(\widehat{BIC}\)cùng nhìn BC dưới 1 góc 90 độ )

=> Tứ giác BIKC nội tiếp đường tròn 

=> 4 điểm B,I,K,C cùng nằm trên 1 đường tròn 

P/ s hình tự vẽ , tham khảo bài làm nha bạn