Làm hộ tui đi à,đây là Sol của thầy Sỹ,đọc là 1 chuyện nhưng hiểu mới là vấn đề.

BĐT đẹp vãi ra mà ối sồi ôi lời giải khủng VCL.Hóng cách nhẹ hơn... 

Sol 2:Phạm Kim Hùng

= 13/22

\(\frac{a}{b}=\frac{5}{2}\Rightarrow2a=5b\Rightarrow a=\frac{5}{2}b\Rightarrow C=\frac{3a-b}{4a+b}=\frac{\frac{15}{2}b-b}{10b+b}=\frac{\frac{13}{2}b}{11b}=\frac{13}{22}\)

P/s : Sửa đề : Cho x > y > 1 và x⁵ + y⁵ = x - y . Chứng minh rằng : x⁴ + y⁴ < 1

+)Ta có : x⁴ + y⁴ < x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴

Mà x > y > 1 \( \implies\) x - y > 0 

\( \implies\) ( x - y ) ( x⁴ + y⁴ ) < ( x - y ) ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) ( * )

+)Ta có : ( x - y ) ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) 

            = x ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) - y ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) 

            = x⁵ + x⁴y + x³y² + x²y³ + xy⁴ - x⁴y -  x³y² - x²y³ -  xy⁴ - y⁵

            = x⁵ - y⁵

\( \implies\) ( x - y ) ( x⁴ + x³y + x²y² + xy³ + y⁴ ) = x⁵ - y⁵ ( ** )

Từ ( * ) ; ( ** ) 

\( \implies\)  ( x - y ) ( x⁴ + y⁴ ) <  x⁵ - y⁵

Mà   x⁵ - y⁵ < x⁵ + y⁵ 

\( \implies\) ( x - y ) ( x⁴ + y⁴ ) <  x⁵ - y⁵

\( \implies\) ( x - y ) ( x⁴ + y⁴ ) < x - y 

\( \implies\)  x⁴ + y⁴ < 1 ( đpcm ) 

\(A=1+\frac{3}{2^3}+\frac{4}{2^4}+\frac{5}{2^5}+...+\frac{100}{2^{100}}\)

=> \(2A=2+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+\frac{5}{2^4}+...+\frac{100}{2^{99}}\)

=> \(2A-A=1+\frac{3}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+...+\frac{1}{2^{99}}-\frac{100}{2^{100}}\)

=> \(A=1+\frac{3}{4}-\frac{50}{2^{99}}+\left(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+...+\frac{1}{2^{99}}\right)\)

Đặt \(B=\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+...+\frac{1}{2^{99}}\)

=> \(2B=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^{98}}\)

=> \(2B-B=\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^{98}}\right)-\left(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+...+\frac{1}{2^{99}}\right)\)

=> \(B=\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^{99}}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2^{99}}\)

Khi đó: \(A=1+\frac{3}{4}-\frac{50}{2^{99}}+B=1+\frac{3}{4}-\frac{50}{2^{99}}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2^{99}}=2-\frac{51}{2^{99}}\)