\(a,Đặt:\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{x-1}\left(x\ne1\right)\\b=\dfrac{1}{y+2}\left(y\ne-2\right)\end{matrix}\right.\\ \left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x-1}+\dfrac{1}{y+2}=4\\\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{1}{y+2}=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a+b=4\\2a-b=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6a+2b=8\\6a-3b=3\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5b=5\\2a-b=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=1\\a=\dfrac{1+1}{2}=1\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{x-1}=1\\b=\dfrac{1}{y+2}=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=1\\y+2=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\left(TM\right)\\y=-1\left(TM\right)\end{matrix}\right.\\ Vậy:\left(x;y\right)=\left(2;-1\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=m\\3x-2y=5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x+2y=2m\\3x-2y=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x=2m+5\\y=m-2x\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m+5}{7}\\y=\dfrac{3m-10}{7}\end{matrix}\right.\)

Để \(x>0;y< 0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2m+5}{7}>0\\\dfrac{3m-10}{7}< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-\dfrac{5}{2}\\m< \dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\dfrac{5}{2}< m< \dfrac{10}{3}\)

Lời giải:

$2^{x+2}.3^2-3.5^2=69$

$2^{x+3}.9=69+3.5^2=144$

$2^{x+3}=144:9=16=2^4$

$\Rightarrow x+3=4$

$\Rightarrow x=1$

\(2^{x+2}.3^2-3.5^2=69\\ =>2^{x+2}.9-3.25=69\\ =>2^{x+2}.9=69+75=144\\ =>2^{x+2}=144:9\\ =>2^{x+2}=16=2^4\\ =>x+2=4\\ =>x=2\)

Số lượng số tự nhiên nhỏ hơn 1000 chia hết cho 2:

(998 - 0) : 2 + 1 = 500 (số)

Số lượng số tự nhiên nhỏ hơn 1000 chia hết cho 5:

(995 - 0): 5 + 1 = 200 (số)

Số lượng số tự nhiên nhỏ hơn 1000 chia hết cho cả 2 và 5:

(990 - 0):10 + 1 = 100 (số)

Số lượng số tự nhiên nhỏ hơn 1000 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5:

500 - 100 = 400 (số)

Lời giải:
Tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 1000 chia hết cho 2:

$\left\{0; 2; 4; 6; ....; 998\right\}$ => có $(998-0):2+1=500$ số

Tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 1000 chia hết cho 5:

$\left\{0; 5; 10; 15;....; 995\right\}$ => có $(995-0):5+1=200$ số

Tập hợp các số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5: $500-200=300$ (số)

\(\left(-4\right)x=36\)

\(x=36:\left(-4\right)\)

\(x=-9\)

$\left(-4\right)x=36$

$x=36:\left(-4\right)$

$x=-9$

a.

\(log_ax=log_a\left(a^3b^2\sqrt{c}\right)=log_aa^3+log_ab^2+log_a\sqrt{c}\)

\(=3log_aa+2log_ab+\dfrac{1}{2}log_ac\)

\(=3+2.3+\dfrac{1}{2}.\left(-2\right)=8\)

b.

\(log_ax=log_a\left(\dfrac{a^4\sqrt[3]{b}}{c^3}\right)=log_aa^4+log_a\sqrt[3]{b}-log_ac^3\)

\(=4log_aa+\dfrac{1}{3}log_ab-3log_ac\)

\(=4+\dfrac{1}{3}.3-3.\left(-2\right)=11\)

Theo hệ thức Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{5}{2}\\x_1x_2=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Giả sử pt bậc 2 cần tìm có các nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_3=\dfrac{x_1}{x_2+1}\\x_4=\dfrac{x_2}{x_1+1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=\dfrac{x_1}{x_2+1}+\dfrac{x_2}{x_1+1}\\x_3x_4=\left(\dfrac{x_1}{x_2+1}\right)\left(\dfrac{x_2}{x_1+1}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=\dfrac{x_1^2+x_2^2+x_1+x_2}{x_1x_2+x_1+x_2+1}=\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+x_1+x_2}{x_1x_2+x_1+x_2+1}\\x_3x_4=\dfrac{x_1x_2}{x_1x_2+x_1+x_2+1}\end{matrix}\right.\)

Thay số:

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=\dfrac{31}{16}\\x_3x_4=\dfrac{1}{8}\end{matrix}\right.\)

Theo định lý Viet đảo, \(x_3;x_4\) là nghiệm của:

\(x^2-\dfrac{31}{16}x+\dfrac{1}{8}=0\Leftrightarrow16x^2-31x+2=0\)

Lời giải:

Theo định lý Viet: $x_1+x_2=\frac{5}{2}=2,5; x_1x_2=\frac{1}{2}=0,5$

Khi đó:

\(\frac{x_1}{x_2+1}.\frac{x_2}{x_1+1}=\frac{x_1x_2}{(x_2+1)(x_1+1)}=\frac{x_1x_2}{x_1x_2+(x_1+x_2)+1}=\frac{0,5}{0,5+2,5+1}=\frac{1}{8}\)

\(\frac{x_1}{x_2+1}+\frac{x_2}{x_1+1}=\frac{x_1^2+x_1+x_2^2+x_2}{(x_1+1)(x_2+1)}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+(x_1+x_2)}{x_1x_2+(x_1+x_2)+1}\)

\(=\frac{2,5^2-2.0,5+2,5}{0,5+2,5+1}=\frac{31}{16}\)

Khi đó áp dụng định lý Viet đảo thì $\frac{x_1}{x_2+1}$ và $\frac{x_2}{x_1+1}$ là nghiệm của pt:

$x^2-\frac{31}{16}x+\frac{1}{8}=0$

\(\Delta=\left(2m-3\right)^2-4\left(2m-4\right)=\left(2m-5\right)^2\ge0;\forall m\)

Pt luôn có 2 nghiệm với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-3\\x_1x_2=2m-4\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2m-3}{2m-4}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow4m-6=2m-4\)

\(\Leftrightarrow2m=2\)

\(\Leftrightarrow m=1\) (thỏa mãn)

ta có:

\(\dfrac{0}{A}=0\Leftrightarrow\dfrac{0}{A}=\dfrac{0}{1}\\ \Rightarrow0\cdot1=0\cdot A=0\\ \Rightarrow\dfrac{0}{A}=0\)