Hình bạn tự vẽ nhé

a) Dễ dàng tính được \(BC=HB+HC=2+6=8\left(cm\right)\)

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH nên \(AB^2=BH.BC\left(htl\right)\Rightarrow AB=\sqrt{BH.BC}=\sqrt{2.8}=4\left(cm\right)\)

Tương tự, ta có \(AC^2=CH.BC\Rightarrow AC=\sqrt{CH.BC}=\sqrt{6.8}=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Mặt khác theo htl:\(AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{4.4\sqrt{3}}{8}=2\sqrt{3}\left(cm\right)\)

b) Tam giác ABH vuông tại H có đường cao HD nên \(AH^2=AD.AB\left(htl\right)\)

Tương tự, ta có \(AH^2=AE.AC\), từ đó \(AD.AB=AE.AC\left(=AH^2\right)\)  (đpcm)

c) Ta có \(AD.AB=AE.AC\left(cmt\right)\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}\)

Xét \(\Delta AED\) và \(\Delta ABC\), ta có \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}\left(cmt\right);\) \(\widehat{A}\) chung

\(\Rightarrow\Delta AED~\Delta ABC\left(c.g.c\right)\) \(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{ACB}\) hay \(\widehat{ADE}=\widehat{BCE}\)

Mà \(\widehat{ADE}+\widehat{BDE}=180^o\) \(\Rightarrowđpcm\)

Dùng cách phân tích thành nhân tử, ta có thể viết phương trình như sau :

\(x^3\left(x-4\right)-19x\left(x-4\right)+30\left(x-4\right)=0\)

hay \(\left(x-4\right)\left(x^3-19x+30\right)=0\)

      \(\left(x-4\right)\left(x^3-3x^2-9x-10x+30\right)=0\)

Ta được phương trình tích sau : \(\left(x-4\right)\left(x-3\right)\left(x^2-3x-10\right)=0\)

\(S=x_1=4;x_2=3;x_i=2;x_4=-5\)

\(\dfrac{x}{1}+\dfrac{x}{1+2}+\dfrac{x}{1+2+3}+...+\dfrac{x}{1+2+3+...+4041}=4041\)

<=> \(x\left(1+\dfrac{1}{\dfrac{2.3}{2}}+\dfrac{1}{\dfrac{3.4}{2}}+...+\dfrac{1}{\dfrac{4041.4042}{2}}\right)=4041\)

<=> \(2x\left(\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{4041.4042}\right)=4041\)

<=> \(2x\left(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{4041}-\dfrac{1}{4042}\right)=4041\)

<=> \(2x\left(1-\dfrac{1}{4042}\right)=4041\)

<=> \(\dfrac{4041x}{2021}=4041\Leftrightarrow x=2021\)

\(=x\times\left(1+\dfrac{1}{1+2}+\dfrac{1}{1+2+3}+...+\dfrac{1}{1+2+3+...+4041}\right)=4041\Leftrightarrow x\times\left(\dfrac{2}{2}+\dfrac{2}{2\times3}+\dfrac{2}{3\times4}+...+\dfrac{2}{4041\times4042}\right)=4041\Leftrightarrow2x\times\left(\dfrac{1}{1\times2}+\dfrac{1}{2\times3}+\dfrac{1}{3\times4}+...+\dfrac{1}{4041\times4042}\right)=4041\Leftrightarrow x\times(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{4041}-\dfrac{1}{4042})=\dfrac{4041}{2}\Leftrightarrow x\times\left(1-\dfrac{1}{4042}\right)=\dfrac{4041}{2}\Leftrightarrow x\times\dfrac{4041}{4042}=\dfrac{4041}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{4041}{2}:\dfrac{4041}{4042}\Leftrightarrow x=2021\)Vậy x = 2021

Em mới lớp 8 nên ko bt có chỗ nào sai hay ko mong anh/chị bỏ qua

`[sin \alpha + cos \alpha-1]/[1-cos \alpha]=[2cos \alpha]/[sin \alpha-cos \alpha+1]`

`<=>(sin \alpha+cos \alpha-1)(sin \alpha-cos \alpha+1)=2cos \alpha(1-cos \alpha)`

`<=>sin^2 \alpha-(cos \alpha-1)^2=2cos \alpha-2cos^2 \alpha`

`<=>sin^2 \alpha-cos^2 \alpha+2cos \alpha-1=2cos \alpha-2cos^2 \alpha`

`<=>sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1` (LĐ)

Vậy đẳng thức đc c/m

`\sqrt{x+12+6\sqrt{x+3}}-\sqrt{x+12-6\sqrt{x+3}}`   `ĐK: x >= -3`

`=\sqrt{(\sqrt{x+3})^2+2.\sqrt{x+2}.3+3^2}-\sqrt{(\sqrt{x+3})^2-2.\sqrt{x+2}.3+3^2}`

`=\sqrt{(\sqrt{x+3}+3)^2}-\sqrt{(\sqrt{x+3}-3)^2}`

`=|\sqrt{x+3}+3|-|\sqrt{x+3}-3|`

`=\sqrt{x+3}+3-|\sqrt{x+3}-3|`

`@` Với `\sqrt{x+3}-3 >= 0<=>\sqrt{x+3} >= 3<=>x+3 >= 9<=>x >= 6` (t/m)

    `=>\sqrt{x+3}+3-|\sqrt{x+3}-3|=\sqrt{x+3}+3-\sqrt{x+3}+3=6`

`@` Với `\sqrt{x+3}-3 < 0<=>\sqrt{x+3} < 3<=>x+3 < 9<=>x < 6`

                                    Kết hợp đk `x >= -3 =>-3 <= x < 6`

   `=>\sqrt{x+3}+3-|\sqrt{x+3}-3|=\sqrt{x+3}+3-3+\sqrt{x+3}=2\sqrt{x+3}`

\(\sqrt{x+12+6\sqrt{x+3}}-\sqrt{x+12-6\sqrt{x+3}}\) \(\left(ĐKXĐ:x\ge-3\right)\)

\(=\sqrt{\left(x+3\right)+2\sqrt{x+3}.3+9}-\sqrt{\left(x+3\right)-2\sqrt{x+3}.3+9}\)

\(=\sqrt{\left[\left(\sqrt{x}+3\right)+3\right]^2}-\sqrt{\left[\left(\sqrt{x}+3\right)-3\right]^2}\)

\(=|\left(\sqrt{x}+3\right)+3|-|\left(\sqrt{x}+3\right)-3|\)

\(=\left(\sqrt{x}+3\right)+3-\left(\sqrt{x}+3\right)+3=6\) ( Với \(x\ge-3\) ) 

\(D=\dfrac{4x+3}{2x-6}\) ; \(ĐK:x\ne3\)

\(D=\dfrac{2\left(2x-6\right)+15}{2x-6}=2+\dfrac{15}{2x-6}\)

Để `D` nguyên thì \(\dfrac{15}{2x-6}\in Z\) hay \(2x-6\inƯ\left(15\right)=\left\{\pm1;\pm3;\pm5;\pm15\right\}\)

 Mà \(x\in Z\) \(\Rightarrow2x-6\) chẵn, mà \(1;3;5;15\) đều là số lẻ

\(\Rightarrow\) không có giá trị `x` nguyên để `D` nguyên

Đề không rõ ràng. Bạn xem lại.

a) △ABH vuông tại H có: HE là đường cao.

\(\Rightarrow HE.AB=HB.HA\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

\(\Rightarrow AH=\dfrac{HE.AB}{HB}\left(1\right)\)

△ACH vuông tại H có: HF là đường cao.

\(\Rightarrow HF.AC=HA.HC\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

\(\Rightarrow AH=\dfrac{HF.AC}{HC}\left(2\right)\)

△ABC vuông tại A có: AH là đường cao.

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH.BC=AB.AC\\AH^2=HB.HC\end{matrix}\right.\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Từ (1), (2) suy ra:

\(AH^2=\dfrac{HE.AB.HF.AC}{HB.HC}=\dfrac{HE.HF.AH.BC}{AH^2}=\dfrac{HE.HF.BC}{AH}\Rightarrow AH^3=BC.HE.HF\)

b) △ABH vuông tại H có: HE là đường cao.

\(\Rightarrow BH^2=BE.AB\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

\(\Rightarrow BE=\dfrac{BH^2}{AB}\left(1\right)\)

△ACH vuông tại H có: HF là đường cao.

\(\Rightarrow CF.AC=CH^2\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

\(\Rightarrow CF=\dfrac{CH^2}{AC}\left(2\right)\)

Từ (1), (2) suy ra: \(BE.CF=\dfrac{BH^2.CH^2}{AB.AC}=\dfrac{\left(AH^2\right)^2}{AH.BC}=\dfrac{AH^3}{BC}\Rightarrow AH^3=BC.BE.CF\)

Biết ABC = AC ( vô lý vậy )??

delete ngay vèo lun:^

\(\sqrt{2x^2-11x+19}=5\)

\(2x^2-11x+19=25\)

\(2x^2-11x-6=0\)

\(\text{∆}=\left(11\right)^2-4.2.\left(-6\right)=169>0\)

\(\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{11-\sqrt{169}}{2.2}=-\dfrac{1}{2}\\x_2=\dfrac{11+\sqrt{169}}{2.2}=6\end{matrix}\right.\)

`\sqrt{2x^2-11x+19}=5`

`<=>2x^2-11x+19=25`

`<=>2x^2-11x-6=0`

`<=>2x^2-12x+x-6=0`

`<=>2x(x-6)+(x-6)=0`

`<=>(x-6)(2x+1)=0`

`<=>` $\left[\begin{matrix} x=6\\ x=\dfrac{-1}{2}\end{matrix}\right.$

Vậy `S={6;-1/2}`