a: D đối xứng H qua AB

=>AH=AD;BH=BD

E đối xứng H qua AC

=>AH=AE; CH=CE

Xét ΔAHB và ΔADB có

AH=AD

HB=DB

AB chung

Do đó: ΔAHB=ΔADB

=>\(\widehat{AHB}=\widehat{ADB}=90^0\)

ΔAHB=ΔADB

=>\(\widehat{HAB}=\widehat{DAB}\)

=>AB là phân giác của góc HAD

Xét ΔAHC và ΔAEC có

AH=AE

CH=CE

AC chung

Do đó: ΔAHC=ΔAEC

=>\(\widehat{AHC}=\widehat{AEC}=90^0\)

ΔAHC=ΔAEC

=>\(\widehat{HAC}=\widehat{EAC}\)

=>AC là phân giác của góc HAE

\(\widehat{DAE}=\widehat{DAH}+\widehat{EAH}=2\left(\widehat{BAH}+\widehat{CAH}\right)=2\cdot90^0=180^0\)

=>D,A,E thẳng hàng

=>BD//CE

Xét tứ giác BDEC có BD//EC

nên BDEC là hình thang

b: Ta có: AD=AH

AH=AE

Do đó: AD=AE

=>A là trung điểm của DE

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(HB\cdot HC=HA^2\)

=>\(BD\cdot CE=\left(\dfrac{1}{2}DE\right)^2=\left(\dfrac{DE}{2}\right)^2\)

c: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

=>\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}=\dfrac{25}{144}\)

=>\(AH=\sqrt{\dfrac{144}{25}}=\dfrac{12}{5}=2,4\left(cm\right)\)

=>DE=2AH=4,8(cm)

Ta có:

\(-x^2+x-5\\ =-x^2+x-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-5\\ =-\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{4}-5\\ =-\left[x^2-2.\dfrac{1}{2}.x+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\right]-\dfrac{19}{4}\\ =-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{19}{4}\)

Nhận xét:

\(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0,\forall x\\ \Rightarrow-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\le0,\forall x\\ \Rightarrow-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{19}{4}\le-\dfrac{19}{4},\forall x\)
hay \(-x^2+x-5\le-\dfrac{19}{4},\forall x\) 
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(x-\dfrac{1}{2}\\=0\\ \Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\)  
Vậy...

a: \(P=27-27x+9x^2-x^3\)

\(=3^3-3\cdot3^2\cdot x+3\cdot3\cdot x^2-x^3=\left(3-x\right)^3\)

Khi x=-17 thì \(P=\left[3-\left(-17\right)\right]^3=\left(3+17\right)^3=20^3=8000\)

b: \(Q=x^3+3x^2+3x\)

\(=x^3+3x^2+3x+1-1\)

\(=\left(x+1\right)^3-1\)

Khi x=99 thì \(Q=\left(99+1\right)^3-1=100^3-1=1000000-1=999999\)

giúp,có tick ạ

\(\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2+\left(x+y\right)\left(x-y\right)\\ =\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-y^2\right)\\ =x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2+x^2-y^2\\ =3x^2+y^2\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}3x^2\ge0\forall x\\y^2\ge0\forall y\end{matrix}\right.=>3x^2+y^2\ge0\forall x,y\)

=> Biểu thức không âm với mọi x và y 

`(x+y)^2 + (x - y)^2 + (x+y)(x - y)`

`= x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy + y^2 + x^2 - y^2`

`= 3x^2 + y^2`

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2\ge0\\y^2\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x^2\ge0\\y^2\ge0\end{matrix}\right.\)

`=> 3x^2 + y^2 ≥ 0`

Vậy đa thức trên luôn không âm với mọi `x;y`

a/

Xét tg vuông AME và tg vuông AHC có

AE=AC (gt)

\(\widehat{EAM}+\widehat{HAC}=\widehat{ACH}+\widehat{HAC}=90^o\Rightarrow\widehat{EAM}=\widehat{ACH}\)

=> tg AME = tg AHC (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

=> AM=AH

C/m tương tự khi xét tg vuông AKD và tg vuông AHB

=> DK=AH

=> DK=EM

b/

\(DK\perp AH\left(gt\right);EM\perp AH\left(gt\right)\) => DK//EM (cùng vg với AH)

DK=EM (cmt)

=> EKDM là hình bình hành (Tứ giác có cặp cạnh đối // và bằng nhau là hbh)

=> IE=ID (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

ĐKXĐ: \(x\ne2\)

\(P=\dfrac{x^4-16}{x^4-4x^3+8x^2-16x+16}\)

\(=\dfrac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^2+4\right)}{x^4+4x^2-4x^3-16x+4x^2+16}\)

\(=\dfrac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^2+4\right)}{x^2\left(x^2+4\right)-4x\left(x^2+4\right)+4\left(x^2+4\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x^2-4x+4}=\dfrac{x+2}{x-2}\)

Để P nguyên thì \(x+2⋮x-2\)

=>\(x-2+4⋮x-2\)

=>\(4⋮x-2\)

=>\(x-2\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)

=>\(x\in\left\{3;1;4;0;6;-2\right\}\)

Sửa đề: \(\dfrac{2020^3-1}{2020^2+2021}\)

\(=\dfrac{\left(2020-1\right)\left(2020^2+2020+1\right)}{2020^2+2020+1}\)

=2020-1=2019

\(\dfrac{2020^3+1}{2020^2-2019}=\dfrac{\left(2020+1\right)\left(2020^2-2020\cdot1+1\right)}{2020^2-2019}\)

\(=\dfrac{2021\cdot\left(2020^2-2019\right)}{2020^2-2019}\)

=2021

\(\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)=28\)

=>\(x^3+27=28\)

=>\(x^3=1=1^3\)

=>x=1

a: \(\left(a+b\right)^3+\left(a-b\right)^3-2a^3\)

\(=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+a^3-3a^2b+3ab^2-b^3-2a^3\)

\(=6ab^2\)

b: \(\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)-\left(x+1\right)^3+3\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)

\(=x^3-8-x^3-3x^2-3x-1+3\left(x^2-1\right)\)

\(=-3x^2-3x-9+3x^2-3=-3x-12\)