Tính :

\(\left(-\frac{1}{3}\right)^7.3^7=\left(-\frac{1}{3}.3\right)^7\)

                       \(=-1^7\)

                       \(=-1\)

học tốt

Tham khảo nhé !

3A=1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 +... + n.(n+1).3

=1.2.(3-0) + 2.3.(4-1) + ... + n.(n+1).[(n+2)-(n-1)]

=[1.2.3+ 2.3.4 + ...+ (n-1).n.(n+1)+ n.(n+1)(n+2)] - [0.1.2+ 1.2.3 +...+(n-1).n.(n+1)] 

=n.(n+1).(n+2) 

=>S=[n.(n+1).(n+2)] /3

Bài làm

a) Xét tam giác AIB và tam giác  CIK có:

AI = IC ( Do I là trung điểm AC )

\(\widehat{AIB}=\widehat{CIK}\)( Hai góc đối đỉnh )

BI = IK ( gt )

=> Tam giác AIB = tam giác CIK ( c.g.c )

=> \(\widehat{BAI}=\widehat{ICK}\left(=90^0\right)\)

=> IC vuông góc với CK.

b) Ta có: IC vuông góc với CK

=> AC vuông góc với CK

AC vuông góc với AB

=> CK // AB .

Xét tam giác AKB có: 

N là trung điểm AK 

I là tủng điể, BK

=> IN là đường trung bình.

=> IN // AB.

Xét tam giác BKC có:

I là trung điểm BK ( Do IB = IK )

M là trung điểm BC

=> IM là đường trung bình.

=> IM // CK

Mà AB // CK 

=> IM // IN 

Mà IM và IN trùng trung vì có chung I

=> M, I, N thẳng hàng. ( đpcm )

c=12.n

C=12.n

Lỗi nên không vẽ đc hình nha bạn !!!

Bài giải

Vì O là giao điểm 2 tia phân giác góc B và góc C .Ta có O là giao điểm cả 3 đường phân giác tam giác ABC ( O là tâm đường tròn mội tiếp ) 

=> AO cũng là tia phân giác của góc A => đpcm 

Ôi ,mình xin lỗi bạn nha ,mình đang vội nen hơi bị lú ,huhuhu, bạn sửa từ" mội " thành từ " nội " nha ,sợ các bạn bắt lỗi nên phải cẩn thận 

Chúc bạn học tốt !

Ta có: \(\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}=\sqrt{\frac{a^2}{a\left(b+c+d\right)}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}\)

Xét \(\sqrt{a\left(b+c+d\right)}\le\frac{a+b+c+d}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}\ge\frac{2a}{a+b+c+d}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\ge\frac{2a}{a+b+c+d}\)

(a,b,c,d>0)

Cmtt: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{b}{a+c+d}}\ge\frac{2b}{a+b+c+d}\\\sqrt{\frac{c}{b+a+d}}\ge\frac{2c}{a+b+c+d}\\\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\ge\frac{2d}{a+b+c+d}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{b}{a+c+d}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+d}}+\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\)\(\ge\frac{2a+2b+2c+2d}{a+b+c+d}=2\)

Đến đây tự xử lí phần dấu "="

Đặt \(\hept{\begin{cases}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{cases}}\)

vì a,b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác => \(\hept{\begin{cases}b+c>a\\c+a>b\\a+b>c\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b+c-a>0\\c+a-b>0\\a+b-c>0\end{cases}\Rightarrow x,y,z>0}\)

và \(\hept{\begin{cases}2c=x+y\\2a=y+z\\2b=x+z\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}c=\frac{x+y}{2}\\a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{x+z}{2}\end{cases}}\Rightarrow\frac{a}{b+c-a}=\frac{\frac{y+z}{2}}{x}=\frac{y+z}{2x}}\)

Tương tự: \(\hept{\begin{cases}\frac{b}{c+a-b}=\frac{x+z}{2y}\\\frac{c}{a+b-c}=\frac{x+y}{2z}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}=\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\right]\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2\right)\) vì \(\hept{\begin{cases}\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\ge2\\\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\ge2\\\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\end{cases}}\)

Dấu "=" khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}\frac{y}{x}=\frac{x}{y}\\\frac{z}{x}=\frac{x}{z}\\\frac{y}{z}=\frac{z}{y}\end{cases}}\) và x,y,z>0

<=> x=y=z

=> a+b-c=c+a-b = a+b-c

<=> a+b+c-2a=a+b+c-2b=a+c+c-2c

<=> a=b=c