a) Với \(0 \le t \le 12\) ta có:

\(N'\left( t \right) =  - 3{t^2} + 24t,N'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  - 3{t^2} + 24t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\left( {tm} \right)\\t = 8\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Ta có: \(N\left( 0 \right) = 0,N\left( 8 \right) =  - {8^3} + {12.8^2} = 256,N\left( {12} \right) =  - {12^3} + {12.12^2} = 0\)

Do đó, số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương là 256 người trong 12 tuần đầu.

b) Hàm số biểu thị tốc độ độ lây lan của virus là: \(N'\left( t \right) =  - 3{t^2} + 24t\)

Đặt \(f\left( t \right) =  - 3{t^2} + 24t\), với \(0 \le t \le 12\)

Ta có: \(f'\left( t \right) =  - 6t + 24,f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 4\left( {tm} \right)\)

\(f\left( 0 \right) = 0,f\left( 4 \right) =  - {3.4^2} + 24.4 = 48,f\left( {12} \right) =  - {3.12^2} + 24.12 =  - 144\)

Do đó, virus sẽ lây lan nhanh nhất khi \(t = 4\) (tuần thứ 4).

a) Ta có: \(y' = 6{x^2} - 6x + 5 = 6\left( {{x^2} - x + \frac{5}{6}} \right) = 6{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{2} > 0\;\forall x \in \left[ {0;2} \right]\)

Do đó, hàm số \(y = 2{x^3} - 3{x^2} + 5x + 2\) đồng biến trên \(\left[ {0;2} \right]\).

Ta có: \(y\left( 0 \right) = 2;y\left( 2 \right) = {2.2^3} - {3.2^2} + 5.2 + 2 = 16\)

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = y\left( 2 \right) = 16,\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = y\left( 0 \right) = 2\)

b) Ta có: \(y' = {e^{ - x}} - \left( {x + 1} \right){e^{ - x}} = {e^{ - x}}\left( {1 - x - 1} \right) =  - x.{e^{ - x}}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow  - x.{e^{ - x}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) (thỏa mãn \(x \in \left[ { - 1;1} \right]\))

\(y\left( { - 1} \right) = 0;y\left( 0 \right) = 1;y\left( 1 \right) = \frac{2}{e}\)

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( 0 \right) = 1,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( { - 1} \right) = 0\)

a) Nhìn vào đồ thị ta thấy, trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) ta có:

+ Giá trị lớn nhất của hàm số là \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = f\left( 2 \right) = 1\).

+ Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) =  - 2\).

b) \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{4}{3}\end{array} \right.\)

Vậy \(x = 0,x = \frac{4}{3}\) thì \(f'\left( x \right) = 0\).

c) Ta có: \(f\left( 0 \right) = 1;f\left( {\frac{4}{3}} \right) = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^3} - 2.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^2} + 1 = \frac{{ - 5}}{{27}};f\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} - 2.{\left( { - 1} \right)^2} + 1 =  - 2\);

\(f\left( 2 \right) = {2^3} - {2.2^2} + 1 = 1\)

Do đó, số nhỏ nhất trong các giá trị này là \( - 2\), số lớn nhất trong các giá trị này là 1.

Ta thấy: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = 1\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) =  - 2\).

a) Tập xác định của hàm số là \(\left[ {0;2} \right]\).

Với \(x \in \left[ {0;2} \right]\) ta có: \(y' = \frac{{\left( {2x - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {2x - {x^2}} }} = \frac{{ - x + 1}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}\), \(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - x + 1}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow x = 1\left( {tm} \right)\)

Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\):

Từ bảng biến thiên ta thấy: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = f\left( 2 \right) = 0,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 1\).

b) Với \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\) ta có:

Ta có: \(y' =  - 1 + \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\;\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - x + \frac{1}{{x - 1}}} \right) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - x + \frac{1}{{x - 1}}} \right) =  - \infty \)

Lập bảng biến thiên của hàm số trên \(\left( {1; + \infty } \right)\):

Vậy hàm số không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

a) Giá trị lớn nhất của đồ thị hàm số trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) là \(M = 3\).

Với \({x_0} = 3\) thì \(f\left( 3 \right) = 3\).

b) Giá trị nhỏ nhất của đồ thị hàm số trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) là \(m =  - 1\).

Với \({x_0} = 1\) thì \(f\left( 1 \right) =  - 1\).

Ta có: \(f'\left( t \right) = \frac{{ - 5000\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)'}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}} = \frac{{25\;000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}\)

Tốc độ bán hàng là lớn nhất khi \(f'\left( t \right)\) lớn nhất.

Đặt \(h\left( t \right) = \frac{{25\;000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}\).

\(h'\left( t \right) = \frac{{ - 25\;000{e^{ - t}}{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2} - 2.\left( { - 5{e^{ - t}}} \right).\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right).25\;000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}}\)

\( = \frac{{ - 25\;000{e^{ - t}}\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)\left( {1 + 5{e^{ - t}} - 10{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}} = \frac{{ - 25\;000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}}\)

\(h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 25\;000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}} = 0 \Leftrightarrow 1 - 5{e^{ - t}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ - t}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow t = \ln 5\) (tm)

Ta có bảng biến thiên với \(t \in \left[ {0; + \infty } \right)\):

Vậy sau khi phát hành khoảng \(\ln 5 \approx 1,6\) năm thì thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right| - 0}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{x} = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left| x \right| - 0}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - x}}{x} =  - 1\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\) nên hàm số không có đạo hàm tại \(x = 0\).

b) Ta có: \(y = f\left( x \right) = \left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l} - x\;khi\;x \in \left( { - \infty ;0} \right)\\x\;\;\;khi\;x \in \left( {0; + \infty } \right)\end{array} \right.\)

Hàm số \(y = f\left( x \right) = \left| x \right|\) liên tục và xác định trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)

Với số \(h > 0\) ta có: Với \(x \in \left( { - h;h} \right) \subset \left( { - \infty ; + \infty } \right)\) và \(x \ne 0\) thì \(y = f\left( x \right) = \left| x \right| > 0 = f\left( 0 \right)\)

Do đó, hàm số \(y = f\left( x \right) = \left| x \right|\) có cực tiểu là \(x = 0\).

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

\(y' = 6{x^2} - 18x + 12\), \(y' = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} - 18x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số \(y = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x - 5\) có điểm cực đại là \(\left( {1;0} \right)\).

Hàm số \(y = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x - 5\) có điểm cực tiểu là \(\left( {2; - 1} \right)\).

b) Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 8x,y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 8x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 2\) đạt cực đại tại \(x = 0\) và .

Hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 2\) đạt cực tiểu tại \(x =  \pm \sqrt 2 \) và \({y_{CT}} =  - 2\).

c) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có: \(y' = \frac{{\left( {2x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 - \sqrt 2 \\x = 1 + \sqrt 2 \end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}}\) đạt cực đại tại \(x = 1 - \sqrt 2 \) và .

Hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}}\) đạt cực tiểu tại \(x = 1 + \sqrt 2 \) và \({y_{CT}} = 2\sqrt 2 \).

d) \(y = \sqrt {4x - 2{x^2}} \)

Tập xác định: \(D = \left[ {0;2} \right]\).

Ta có: \(y' = \frac{{\left( {4x - 2{x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {4x - 2{x^2}} }} = \frac{{ - x + 1}}{{\sqrt {4x - 2{x^2}} }},y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\left( {tm} \right)\)

Ta có bảng biến thiên của hàm số:

Do đó, hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\), , hàm số không có cực tiểu.

a) Vì \(f'\left( x \right) > 0\) khi \(x \in \left( {2;4} \right)\) và \(x \in \left( {6; + \infty } \right)\). Do đó, hàm số f(x) đồng biến trên \(\left( {2;4} \right)\) và \(\left( {6; + \infty } \right)\).

Vì \(f'\left( x \right) < 0\) khi \(x \in \left( {0;2} \right)\) và \(x \in \left( {4;6} \right)\). Do đó, hàm số f(x) nghịch biến trên \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( {4;6} \right)\).

b) Vì \(f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( {0;2} \right)\) và \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( {2;4} \right)\) thì \(x = 2\) là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Vì \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( {2;4} \right)\) và \(f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( {4;6} \right)\) thì điểm \(x = 4\) là một điểm cực đại của hàm số f(x).

Vì \(f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( {4;6} \right)\) và \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( {6; + \infty } \right)\) thì điểm \(x = 6\) là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

a) Dân số của thị trấn đó vào năm 2000 là: \(N\left( 0 \right) = \frac{{25.0 + 10}}{{0 + 5}} = \frac{{10}}{5} = 2\) (nghìn người)

Dân số của thị trấn đó vào năm 2015 là: \(N\left( {15} \right) = \frac{{25.15 + 10}}{{15 + 5}} = 19,25\) (nghìn người)

b) Ta có: , \(\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } N\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{25t + 10}}{{t + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{25 + \frac{{10}}{t}}}{{1 + \frac{5}{t}}} = 25\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } N\left( t \right) = 25\) và  nên dân số của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt qua ngưỡng 25 nghìn người.