\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge4\)

\(\Leftrightarrow1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1\ge4\)

\(\Leftrightarrow\frac{b^2+a^2}{ab}\ge2\)

Vì a > 0 và b > 0  \(\Rightarrow ab>0\)

Vậy \(\frac{b^2+a^2}{ab}\ge2\Leftrightarrow b^2+a^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) 

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

bài này có nhiều hướng đi lắm =))

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge4\)

1. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}\)

=> \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge\frac{4}{a+b}\cdot\left(a+b\right)=4\). Dấu "=" xảy ra <=> a=b

2. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\); \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

=> \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\cdot2\sqrt{ab}=4\). Dấu "=" xảy ra <=> a=b

3. \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)=1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1\ge2+2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{b}}=2+2=4\)(AM-GM)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b

a) Đặt tính đa thức chia đa thức ta được:

\(f\left(x\right):g\left(x\right)=\left(x^2+x\right)\).

b) Thương f(x) : g(x) =0 

<=> \(x^2+x=0\)

<=> x ( x + 1 ) = 0

<=> x =0 hoặc x+1 =0

<=> x=0 hoặc x=-1.

c) 

Ta có: \(f\left(x\right):g\left(x\right)=\left(x^2+x\right)=x^2+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\ge-\frac{1}{4}\).

Gía trị nhỏ nhất là  -1/4 đạt tại x = -1/2.

( Cảm ơn em đã giúp đỡ các bạn khác :)

x^2+4x+4

3(x + 2)^2 + (2x - 1)^2 - 7(x + 3)(x - 3) = 36

=> 3(x^2 + 4x + 4) + 4x^2 - 4x + 1 - 7(x^2 - 9) = 36

=> 3x^2 + 12x + 12 + 4x^2 - 4x + 1 - 7x^2 + 63 = 36

=> 8x + 76 = 36

=> 8x = -40

=> x = -5

a) Ta có: A = \(\frac{x^3-3x^2-x+3}{x^2-3x}=\frac{x^2\left(x-3\right)-\left(x-3\right)}{x\left(x-3\right)}=\frac{\left(x^2-1\right)\left(x-3\right)}{x\left(x-3\right)}=\frac{x^2-1}{x}\)

b) Với x = 2 => A = \(\frac{2^2-1}{2}=\frac{4-1}{2}=\frac{3}{2}\)

Như này là đề bài thiếu điều kiện hay là bạn conan làm quên điều kiện. :)

Đề bài thiếu điều kiện:

với \(x\ne0;x\ne3\)

(x + 2)(x - 1) - x(x + 3)

= x^2 - x + 2x - 2 - x^2 - 3x

= -2x - 2

giúp mình giải câu này vs

\(\frac{6x}{x^2-9}+\frac{5x}{x-3}+\frac{x}{x+3}\) 

Ko đăng linh tinh!

I. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"

1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;

2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.

3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.

Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.

\(a,4x^2+9y^2+4x-24y+17=0\)

\(\Rightarrow\left(4x^2+4x+1\right)+\left(9y^2-24y+16\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(2x+1\right)^2+\left(3y-4\right)^2=0\)

\(\left(2x+1\right)^2\ge0;\left(3y-4\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(2x+1\right)^2=0\\\left(3y-4\right)^2=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x+1=0\\3y-4=0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=\frac{4}{3}\end{cases}}}\)

  giúp mình với chiều thì rồi

Cm: Ta có: 

a) A = x² - 8x + 20 = (x² - 8x + 16) + 4 = (x - 4)² +  4 > 0 \(\forall\) x(vì (x - 4)² \(\ge\)0 \(\forall\)x ; 4 > 0)

=> A luôn dương với mọi x

b) B = 4x² - 12x + 11 = [(2x)² - 12x + 9] + 2 = (2x - 3)² + 2 > 0 \(\forall\)x (vì (2x - 3)² \(\ge\)0 \(\forall\)x; 2 > 0)

=> B luôn dương với mọi x

c) C = x² - x + 1 = (x² - x + 1/4) + 3/4 = (x -  1/2)² + 3/4 > 0 \(\forall\)x (vì (x - 1/2)² \(\ge\)0 \(\forall\)x; 3/4 > 0)

=> C luôn dương với mọi x

* Tìm x

3(x + 2)² + (2x - 1)² - 7(x + 3)(x - 3) = 36

=> 3(x² + 4x + 4) + 4x² - 4x + 1 - 7(x² - 9) = 36

=> 3x² + 12x + 12 + 4x² - 4x + 1 - 7x² + 63 = 36

=> 8x + 76 = 36

=> 8x = 36 - 76

=> 8x = -40

=> x = -40 : 8 = -5