a: Để (d)//y=3x+1 thì \(\left\{{}\begin{matrix}m-1=3\\2m-2\ne1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m=4\\m\ne\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

=>m=4

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(-x^2=\left(m-1\right)x+2m-2\)

=>\(x^2+\left(m-1\right)x+2m-2=0\)

\(\text{Δ}=\left[-\left(m-1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(2m-2\right)\)

\(=m^2-2m+1-8m+8\)

\(=m^2-10m+9=\left(m-1\right)\left(m-9\right)\)

Để (P) tiếp xúc với (d) thì Δ=0

=>(m-1)(m-9)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=9\end{matrix}\right.\)

c: Gọi A(x;y) là điểm cần tìm

Vì A thuộc (P) nên \(A\left(x;-x^2\right)\)

AO=căn 2

=>\(AO^2=2\)

=>\(\left(x-0\right)^2+\left(-x^2-0\right)^2=2\)

=>\(x^4+x^2-2=0\)

=>\(\left(x^2+2\right)\left(x^2-1\right)=0\)

=>\(x^2-1=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)

Khi x=1 thì \(y=-x^2=-1^2=-1\)

Khi x=-1 thì \(y=-x^2=-\left(-1\right)^2=-1\)

vậy: A(1;-1); A(-1;-1)

a: Thay x=4 vào (P), ta được:

\(y=\dfrac{4^2}{2}=8\)

Thay x=4 và y=8 vào (d), ta được:

\(4\cdot m-m+2=8\)

=>3m=6

=>m=2

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\dfrac{1}{2}x^2=mx-m+2\)

=>\(\dfrac{1}{2}x^2-mx+m-2=0\)

\(\text{Δ}=\left(-m\right)^2-4\cdot\dfrac{1}{2}\left(m-2\right)\)

\(=m^2-2\left(m-2\right)=m^2-2m+4\)

\(=\left(m-1\right)^2+3>=3>0\forall m\)

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

Gọi vận tốc ô tô khi đi từ A đến B là x(km/h)

(Điều kiện: x>0)

Vậntốc của ô tô khi đi từ B về A là x+32(km/h)

Thời gian đi từ A đến B là \(\dfrac{156}{x}\left(giờ\right)\)

Thời gian đi từ B về A là \(\dfrac{156-36}{x+32}=\dfrac{120}{x+32}\left(giờ\right)\)

Thời gian đi nhiều hơn thời gian về là 1h45p=1,75h nên ta có:

\(\dfrac{156}{x}-\dfrac{120}{x+32}=1,75\)

=>\(\dfrac{156x+4992-120x}{x\left(x+32\right)}=1,75\)

=>\(1,75\left(x^2+32x\right)=36x+4992\)

=>\(1,75x^2+20x-4992=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=48\left(nhận\right)\\x=-\dfrac{416}{7}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

vậy: Vận tốc lúc đi là 48km/h

Vì 2<>1 nên (d) luôn cắt (d')

Tọa độ giao điểm của (d) và (d') là:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+2m^2+m+3=x+m^2+3\\y=x+m^2+3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x-x=m^2+3-2m^2-m-3\\y=x+m^2+3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-m^2-m\\y=-m^2-m+m^2+3=-m+3\end{matrix}\right.\)

Để x+y>0 thì \(-m^2-m+\left(-m\right)+3>0\)

=>\(-m^2-2m+3>0\)

=>\(m^2+2m-3< 0\)

=>(m+3)(m-1)<0

=>-3<m<1

Lời giải:

$x_1+x_2=1$ chính là biểu thức liên hệ giữa 2 biến mà không phụ thuộc vào $m$.

hình vẽ: 

ta có: \(\widehat{OBD}=90^o\)(vì BM là tiếp tuyến tại B của \(\left(O\right)\))
mà \(\widehat{OKC}=90^o\left(gt\right)\)\(\Rightarrow\) tứ giác OKDB nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{KBD}=\widehat{KOD}\)
mà \(\widehat{KBD}=\widehat{BAM}=\widehat{COK}\)\(\Rightarrow\widehat{COK}=\widehat{KOD}\)
Từ đó chứng minh được \(\Delta KOC=\Delta KOD\left(g.c.g\right)\Rightarrow KD=KC\)
Xét \(\Delta KHD\) và \(\Delta KCA\)
\(AK=KH\left(gt\right)\)
\(CK=KD\left(cmt\right)\)
\(\widehat{CKA}=\widehat{DKH}\left(dd\right)\)
\(\Rightarrow\Delta KHD=\Delta KCA\left(g.c.g\right)\Rightarrow\widehat{ACK}=\widehat{KDH}\Rightarrow AM\text{//}DH \)
mà \(AH=HB\left(gt\right)\Rightarrow BD=DM\left(dtb\right)\Rightarrowđpcm\)