\(a+b+c=a^3+b^3+c^3-3abc\)

\(\Leftrightarrow a+b+c=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=1\) (do \(a+b+c=1\)) 

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=2\) (1)

Mặt khác:

\(a+b+c=1\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=1\) (2)

Cộng vế (1) và (2):

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=1\)

\(\Rightarrow\left(a;b;c\right)=\left(1;0;0\right)\) và các bộ hoán vị của chúng

Ta có: \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3+c^3-3abc-3ab\left(a+b\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\)

Mà \(a+b+c=1\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)\(=1\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-a\right)^2+\left(a-c\right)^2=2\)

Vì a, b, c nguyên nên: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=1\\\left(c-a\right)^2=1\end{matrix}\right.\) và các hoán vị của nó

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\\left[{}\begin{matrix}b-c=1\\b-c=-1\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}c-a=1\\c-a=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\\left[{}\begin{matrix}b=1+c\\b=-1+c\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}c=1+a\\c=-1+a\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Thay vô \(a+b+c=1\) để tìm a, b, c

(Chú ý lúc kết luận, ghi các nghiệm vừa tìm được và viết thêm cụm "và các hoán vị của nó")

Ta xét: (a^5 - a) + (b^5 - b) + (c^5 - c)

Ta có: a^5 - a = a(a^4 - 1) = a(a² - 1)(a² + 1) = a(a - 1)(a + 1)(a² + 1) 
= a(a - 1)(a + 1)(a² - 4 + 5) 
= a(a - 1)(a + 1)[ (a² - 4) + 5) ] 
= a(a - 1)(a + 1)(a² - 4) + 5a(a - 1)(a + 1) 
= a(a - 1)(a + 1)(a - 2)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1) 
= (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1) 

Do (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp => (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) chia hết cho 2, 3, 5 và 5a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 5 và 2, 3 hay chia hết cho 2*3*5=30 

=> (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 30. 

=> a^5 - a chia hết cho 30 

=> (a^5 -a) + (b^5 -b) + (c^5 -c) = (a^5+b^5+c^5) -(a+b+c) chia hết cho 30 (*) 

Do (a+b+c) chia hết cho 30 

(*) => (a^5+b^5+c^5) chia hết cho 30

Trả lời:

Ta thấy : $a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right).$

$=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)$

$=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)$

$=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)$

Ta có :$\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)$là tích 5 số tự nhiên liên tiếp :

$\Rightarrow \left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)$$⋮$$5$và cũng $⋮$$6$( cũng là 3 số tự nhiên liên tiếp )

$\Rightarrow \left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)$$⋮$$30$$\left(1\right)$

Ta lại có : $5$$⋮$$5$và $\left(a-1\right)a\left(a+1\right)$$⋮$$6$

$\Rightarrow 5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)$$⋮$$30$$\left(2\right)$

Từ ( 1 ) và ( 2 ) $\Rightarrow \left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)$$⋮$$30$

Hay $a^5-a$$⋮$$30$

Tương tự $b^5-b$và $c^5-c$cũng chia hết cho 30 

$\Rightarrow a^5+b^5+c^5-\left(a+b+c\right)$$⋮$$30$

Mà $a+b+c$$⋮$$30$

$\Rightarrow a^5+b^5+c^5$$⋮$$30$$\left(đpcm\right)$

Gọi \(a^2=x^2-4x+11\)

\(\Leftrightarrow a^2-\left(x^2-4x+11\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2-\left(x^2-4x+4\right)-7=0\)

\(\Leftrightarrow a^2-\left(x-2\right)^2=7\)

\(\Leftrightarrow\left(a-x+2\right)\left(a+x-2\right)=7\)

... (Đoạn này thì tự làm nhaa)

Đáp án:

$x=5$

Giải thích các bước giải:

$D=x^2-4x+11$ là số chính phương

$\to x^2-4x+11=k^2(k\in N^{\ast })$

$\to (x^2-4x+4)-k^2=-7$

$\to (x-2+k)(x-2-k)=-7(\ast )$

Do $k\in N^{\ast }$

nên $x\in Z$

$\Rightarrow (\ast )$ là phương trình ước số của $-7$

Ta có:

$-7=(-1).7=1.(-7)=(-7).1=7.(-1)$

Ta được:

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}x+k-2=-1\\ x-k-2=7\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x+k-2=1\\ x-k-2=-7\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x+k-2=-7\\ x-k-2=1\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x+k-2=7\\ x-k-2=-1\end{array}\end{array}$

$\iff \begin{array}{c}\{\begin{array}{c}x=5\\ k=-4\end{array}\left(loại\right)\\ \{\begin{array}{c}x=-1\\ k=2\end{array}\left(loại\right)\\ \{\begin{array}{c}x=-1\\ k=-4\end{array}\left(loại\right)\\ \{\begin{array}{c}x=5\\ k=4\end{array}\left(nhận\right)\end{array}$

Vậy $x=5$

ĐK: \(x\ge0\)

Ta có: \(A=\dfrac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}+1}\Leftrightarrow2A=\dfrac{2\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}+1}=\dfrac{2\sqrt{x}+1+1}{2\sqrt{x}+1}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}+1}+1\)

Ta thấy vì: \(2\sqrt{x}\ge0\Leftrightarrow2\sqrt{x}+1\ge1\Leftrightarrow\dfrac{1}{2\sqrt{x}+1}\le1\)

\(\Rightarrow2A\le1+1=2\Leftrightarrow A\le1\)

Dấu ''='' xảy ra khi x = 0

Với \(x > 0,x \ne 1\) có:

\(\left(\dfrac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}-2}-\dfrac{\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}+2}-\dfrac{x+1}{1-x}\right):\dfrac{x+2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{(\sqrt{x}+1)^2-(\sqrt{x}-1)^2+2(x+1)}{2(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}.\dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)^2}\)

\(=\dfrac{(\sqrt{x}+1-\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+1+\sqrt{x}-1)+2x+2}{2(\sqrt{x}-1)}.\dfrac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+1)^2}\)

\(=\dfrac{2.2\sqrt{x}+2x+2}{2(\sqrt{x}-1)}.\dfrac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+1)^2}\)

\(=\dfrac{2(\sqrt{x}+1)^2}{2(\sqrt{x}-1)}.\dfrac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+1)^2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

Dòg đầu lỗi lệnh, nhg dòg đó là đề bài nên ko ảnh hưởng j nhé!

A B C D E F M N P H

a/

Xét tg vuông AEB và tg vuông AFC có

\(\widehat{ABE}=\widehat{ACF}\) (cùng phụ với \(\widehat{ABC}\) )

=> tg AEB đồng dạng với tg AFC (g.g.g)

b/

 tg AEB đồng dạng với tg AFC (cmt)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

Xét tg AEF và tg ABC có

\(\widehat{BAC}\) chung

\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\) 

=> tg AEF đồng dạng với tg ABC (c.g.c)

c/

Ta có

\(\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AE}{AB}\right)^2\) (hai tg đồng dạng tỷ số 2 diện tích bằng bình phương tỷ số đồng dạng)

Ta biết 3 cạnh của tg ABC, áp dụng công thức Hê rông tính được diện tích tg ABC .

Áp dụng công thức \(S_{ABC}=\dfrac{AC.BE}{2}\) từ đó tính được BE

Áp dụng Pitago cho tg vuông AEB tính được \(AE=\sqrt{AB^2-BE^2}\)

Từ đó suy ra được tỷ số đồng dạng \(\dfrac{AE}{AB}\)

(Câu này bạn tự tính toán nhé, lưu ý tính dưới dạng phân số)

`2x+3=10x-4x-9`

`<=>10x-4x-2x=3+9`

`<=>6x=12`

`<=>x=2`

Vậy `S=`{`2`}

Sửa:

`2x+3=10x-4x-9`

`<=>10x-4x-2x=3+9`

`<=>4x=12`

`<=>x=3`

\(x^2-2x+3=\left(x^2-2x+1\right)+2-\left(x-1\right)\)

\(x^2-2x+3-x^2+2x-1-2+x-1=0\)

\(x-1=0\)

\(x=1\)

`x^{2}-2x+3=(x^2-2x+1)+2-(x-1)`

`<=>x^2-2x+3=x^2-2x+1+2-x+1`

`<=>x=0`

Vậy S={`0`}