Lời giải:

Gọi $d=ƯCLN(5n+2, 2n+3)$

$\Rightarrow 5n+2\vdots d; 2n+3\vdots d$

$\Rightarrow 5(2n+3)-2(5n+2)\vdots d$

$\RIghtarrow 11\vdots d$

Để ps đã cho tối giản, thì $5n+2, 2n+3$ nguyên tố cùng nhau, tức là $d$ không thể bằng $11$

Điều này xảy ra khi mà: 

$5n+2\not\vdots 11$

$\Rightarrow 5n+2-22\not\vdots 11$

$\Rightarrow 5n-20\not\vdots 11$

$\Rightarrow 5(n-4)\not\vdots 11$

$\Rightarrow n-4\not\vdots 11$

$\Rightarrow n\neq 11k+4$ với $k$ là số tự nhiên bất kỳ.

Lời giải:

$B=\frac{10n-3}{4n-10}$

$2B=\frac{20n-6}{4n-10}=\frac{5(4n-10)+44}{4n-10}=5+\frac{22}{2n-5}$

Để $B$ max thì $5+\frac{22}{2n-5}$ max

$\Rightarrow \frac{22}{2n-5}$ max

$\Rightarrow 2n-5$ phải là số dương nhỏ nhất

Với $n$ tự nhiên, $2n-5$ dương nhỏ nhất bằng 1

$\Rightarrow n=3$

Khi đó: $2B=5+\frac{22}{1}=27$

$\Rightarrow B=\frac{27}{2}$
Vậy $B_{\max}=\frac{27}{2}$ khi $n=3$.

\(\dfrac{5}{3\cdot4}+\dfrac{5}{4\cdot5}+...+\dfrac{5}{\left(x-1\right)\cdot x}=\dfrac{19}{12}\)

=>\(5\left(\dfrac{1}{3\cdot4}+\dfrac{1}{4\cdot5}+...+\dfrac{1}{\left(x-1\right)\cdot x}\right)=\dfrac{19}{12}\)

=>\(\dfrac{1}{3\cdot4}+\dfrac{1}{4\cdot5}+...+\dfrac{1}{\left(x-1\right)\cdot x}=\dfrac{19}{60}\)

=>\(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{19}{60}\)

=>\(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{19}{60}\)

=>\(\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{20}\)

=>x=20

Đề sai bạn nhé. Cho $n=15$ thì:

$A=\frac{5n+2}{2n+3}=\frac{77}{33}$ đâu phải phân số tối giản đâu.

Đề không đầy đủ. Bạn coi lại đề.

Lời giải:
Với $x$ nguyên, để $\frac{6x+3}{2x-3}$ nguyên thì:

$6x+3\vdots 2x-3$

$\Rightarrow 3(2x-3)+12\vdots 2x-3$

$\Rightarrow 12\vdots 2x-3$

$\Rightarrow 2x-3$ là ước của $12$. Mà $2x-3$ lẻ nên:

$\Rightarrow 2x-3\in\left\{\pm 1;\pm 3\right\}$

$\Rightarrow x\in\left\{2; 1; 0; 3\right\}$

Phần b là gì bạn nhỉ?

Đề không đầy đủ. Bạn xem lại đề.

Lời giải:

$\frac{3}{5}-x.\frac{1}{3}=\frac{2}{5}$

$x.\frac{1}{3}=\frac{3}{5}-\frac{2}{5}=\frac{1}{5}$

$x=\frac{1}{5}:\frac{1}{3}=\frac{3}{5}$

P/s: Bạn lưu ý lần sau gõ đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để mọi người đọc hiểu đề của bạn hơn nhé.

Lời giải:
a. 

Vì $AC, AB$ là hai tia đối nhau nên $A$ nằm giữa $B,C$

$\Rightarrow AC+AB=BC$

$\Rightarrow 4+6=BC\Rightarrow BC=10$ 

b.

$M$ nằm giữa $A,C$ nên: $MA+MC=AC$

$MA=AC-MC=4-1,5=2,5$ 

$N$ là trung điểm $AB$ nên: $AN=\frac{AB}{2}=3$ 

$M,N$ nằm trên 2 tia đối nhau $AC, AB$ nên $A$ nằm giữa $M,N$

$\Rightarrow MN=AM+AN=2,5+3=5,5$

Hình vẽ: