A B C D M N F O E I J x

a) Xét \(\Delta\)ABM và \(\Delta\)ADN có: ^ABM = ^ADN (=90⁰); AB=AD; BM=DN  => \(\Delta\)ABM = \(\Delta\)ADN (c.g.c)

=> AM=AN (2 canh tương ứng);  ^BAM = ^DAN (2 góc tương ứng). Mà ^BAM + ^DAM = 90⁰

=> ^DAN + ^DAM = ^MAN = 90⁰ => AM vuông góc AN

Ta có: MF//AN; NF//AM; AM vuông góc AN nên ^MAN = ^AMF = ^ANF = 90⁰

Do đó: Tứ giác ANFM là hình chữ nhật. Lại có: AM=AN (cmt) => Tứ giác ANFM là hình vuông (đpcm).

b) Gọi I và J lần lượt là hình chiếu của F trên 2 đường thẳng CD và BC

Tứ giác ANFM là hình vuông => FM=FN

Xét tứ giác CNFM có: ^MCN = ^MFN = 90⁰ => ^FNC + ^CMF = 180⁰ => ^FNC = ^FMJ hay ^FNI = ^FMJ

Xét \(\Delta\)FIN và \(\Delta\)FJM có: ^FIN = ^FJM (=90⁰); FN=FM; ^FNI = ^FMJ

=> \(\Delta\)FIN = \(\Delta\)FJM (Ch.gn) => FI = FJ (2 cạnh tương ứng)

Xét ^MCN: Có FI và FJ là k/c từ điểm F tới 2 cạnh của góc này; FI=FJ

=> F nằm trên đường phân giác của ^MCN (đpcm).

c) Gọi giao điểm của tia AD và CF là E.

CF là phân giác ^MCN => ^FCN = ^MCN/2 = 45⁰ => ^FCN = ^ACD = 45⁰ 

=> \(\Delta\)ACE vuông tại C có đường phân giác CD. Mà CD vuông góc AE

=> \(\Delta\)ACE vuông cân tại C = >CD đồng thời là đường trung tuyến => D là trung điểm AE

Suy ra: OD là đường trung bình \(\Delta\)FAE => OD // EF hay OD // CF (1)

Dễ c/m: BD // CF (Do ^DBC + ^BCF = 45⁰ + 135⁰ = 180⁰)                  (2)

Từ (1) và (2) => 3 điểm B;D;O thẳng hàng (đpcm).

d) Ta thấy: B;D;O là 3 điểm thẳng hàng; BD cố định nên O luôn thuộc đường thẳng BD cố định khi M di động trên Cx.

câu e đâu bạn :v

\(2\left(1-x\right)\sqrt{x^2+2x-1}=x^2-2x-1\) (ĐKXĐ: \(x^2+2x-1\ge0\))

\(\Leftrightarrow x^2-2x-1-2\left(1-x\right)\sqrt{x^2+2x-1}=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x-1-2\left(1-x\right)\sqrt{x^2+2x-1}-4x=0\)

Đặt \(\sqrt{x^2+2x-1}=a\) (\(a\ge0\)). Khi đó: \(a^2-a.2\left(1-x\right)-4x=0\) (*)

Xét biệt thức: \(\Delta=\left[2\left(x-1\right)\right]^2-4.1.\left(-4x\right)\)

\(\Delta=4x^2-8x+4+16x=4\left(x^2+2x+1\right)=\left[2\left(x+1\right)\right]^2\ge0\)

Vì \(\Delta\ge0\) nên phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt:

\(\hept{\begin{cases}a_1=\frac{-2\left(x-1\right)-\sqrt{\left[2\left(x+1\right)\right]^2}}{2}\\a_2=\frac{-2\left(x-1\right)+\sqrt{\left[2\left(x+1\right)\right]^2}}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a_1=-2x\\a_2=2\end{cases}}\)

+) Với \(a_1=-2x\Rightarrow\sqrt{x^2+2x-1}=-2x\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\le0\\x^2+2x-1=4x^2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le0\\3x^2-2x+1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le0\\x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le0\\\left(x-\frac{1}{3}\right)^2=-\frac{2}{9}\left(\times\right)\end{cases}}\)

+) Với \(a_2=2\Rightarrow\sqrt{x^2+2x-1}=2\Leftrightarrow x^2+2x-1=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=6\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{6}-1\\x=-\sqrt{6}-1\end{cases}}\)

Vậy tạp nghiệm của pt là \(S=\left\{\sqrt{6}-1;-\sqrt{6}-1\right\}.\)

Xét biệt thức là gì vậy mình không hiểu bạn có thể giải thích dùm mình được không vậy ? ><