Đề bài bị sai

Đề đúng: Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng BE; AD; AC; AB.

Bài giải:

a) \(\Delta\)ABC đều

=> ^BAC = 60 độ 

mà ^ EAD = ^BAC ( đối đỉnh)

=> ^EAD = 60 độ 

Xét \(\Delta\) EAD có ^EAD = 60 độ và AE = AD 

=> \(\Delta\)EAD đều

=> ^EDA  = ^ABC (= 60 độ )  mà hai góc này ở vị trí so le trong 

=> ED//BC  (1)

Xét \(\Delta\) EAB và \(\Delta\)DAC có:

AE = AD ;

^ EAB = ^DAC ( đối đỉnh)

AB = AC

=> \(\Delta\)EAB = \(\Delta\)DAC

=> ^BEA = ^CDA 

mà ^ AED = ^ ADE ( \(\Delta\)AED đều )

=> ^ BEA + ^AED = ^CDA + ^DAC 

=> ^BED = ^CDA  (2)

Từ (1) ; (2) => Tứ giác BEDC là hình thang cân.

b) ED // BC ( theo 1)

=> \(\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2AN}{2AQ}=\frac{AN}{AQ}\)

=> \(\frac{AE}{AC}=\frac{AN}{AQ}\)

=> EN//CQ

=> CNEQ là hình thang.

=x^3-3.x².\(\frac{1}{4}\)+3.x.(\(\frac{1}{4}\))²-\(\frac{1}{4^3}\)+(3x)^3+3.(3x)².\(\frac{1}{2}\)+3.3x.\(\frac{1}{2^2}\)+(\(\frac{1}{2}\))³

=(x-1/4)³+(3x+1/2)³

Mình ko chắc lắm :

Áp dụng BĐT AM - GM ta có :

\(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)

\(=\frac{x^2y^2+1}{y^2}.\frac{x^2y^2+1}{x^2}=\frac{x^4y^4+2x^2y^2+1}{x^2y^2}\)

\(=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}+\frac{255}{256x^2y^2}+2\)

\(\ge2\sqrt{x^2y^2.\frac{1}{256x^2y^2}}+\frac{255}{256.\left(xy\right)^2}+2\)

\(\ge2.\frac{1}{16}+\frac{255}{256.\left(\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\right)^2}+2\)

\(=\frac{1}{8}+\frac{255}{256.\left(\frac{1}{4}\right)^2}+2=\frac{289}{16}\)

Khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Chúc bạn học tốt !!!

\(\Rightarrow x^2+2x+8=t^2\left(t\in N\right)\)

\(\Rightarrow t^2-\left(x^2+2x+1\right)=7\)

\(\Rightarrow t^2-\left(x+1\right)^2=7\)

\(\Rightarrow\left(t+x+1\right)\left(t-x-1\right)=7\)

Dễ thấy : \(t+x+1>t-x-1\forall t,x\in Z\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}t+x+1=7\\t-x-1=1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}t=1\\x=-1\end{cases}}}\)

Vậy \(x=-1\) thì \(x^2+2x+8\) 

Chúc bạn học tốt !!

Ta có : \(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}>1\) với \(k=1,2,...,n\)

Áp dụng BĐT AM - GM ta có :

\(\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}=\sqrt[k+1]{\frac{1.1...1}{k}.\frac{k+1}{k}}\)

\(< \frac{1+1+1+...+1+\frac{k+1}{k}}{k+1}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{k}=1+\frac{1}{k\left(k+1\right)}\)

Suy ra \(1< \sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}< 1+\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\)

Lần lượt cho \(k=1,2,3,...,n\) rồi cộng lại được :
\(n< \sqrt{2}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}}+...+\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}< n+1-\frac{1}{n}< n+1\)

Vậy phần nguyên a là n 

Chúc bạn học tốt !!!

\(\sqrt{25-x^2}-\sqrt{9-x^2}=2\)

ĐK : \(-3\le0\le3\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{25-x^2}-5\right)-\left(\sqrt{9-x^2}-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{25-x^2-25}{\sqrt{25-x^2}+5}-\frac{9-x^2-9}{\sqrt{9-x^2}+3}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-x^2}{\sqrt{25-x^2}+5}-\frac{-x^2}{\sqrt{9-x^2}+3}=0\)

\(\Leftrightarrow-x^2\left(\frac{1}{\sqrt{25-x^2}+5}-\frac{1}{\sqrt{9-x^2}+3}\right)=0\)

\(\Rightarrow x=0\)

Chúc bạn học tốt !!!

Bạn Việt Nhật chưa xét trường hợp nếu trong ngoặc \(\frac{1}{\sqrt{25-x^2}+5}-\frac{1}{\sqrt{9-x^2}+3}=0\)

MÌnh sẽ đua ra một cách khác:

ĐK: ....

pt <=> \(\sqrt{25-x^2}=2+\sqrt{9-x^2}\) ( hai vế đều dương nên có thể dùng tương đương để bình phương hai vế)

<=> \(25-x^2=4+4\sqrt{9-x^2}+9-x^2\)

<=> \(12=4\sqrt{9-x^2}\)

<=> \(\sqrt{9-x^2}=3\)

<=> \(9-x^2=9\)

<=> \(x^2=0\)

<=> x = 0.

Ta luôn có :

\(\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2\ge0\forall a,b\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)

\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a+b\right)}{ab}\ge\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{2\left(a+b\right)}{ab}}\ge\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế :

\(\sqrt{2}\left(\sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac}}\right)\)

\(\ge2\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac}}\ge\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Chúc bạn học tốt !!!

Đặt \(\frac{1}{\sqrt{a}}=x,\frac{1}{\sqrt{b}}=y,\frac{1}{\sqrt{c}}\)=z

Thay vào ta có:\(\sqrt{2}\)(x+y+x)\(\le\)\(\sqrt{\left(x^2+y^2\right)}+\sqrt{x^2+z^2}+\sqrt{\left(y^2+z^2\right)}\)

Ta có bất đẳng thức sau A: (m²+n²)(p²+q²)\(\ge\)(mp+nq)² dễ dàng chứng mình bằng cách khai triển

áp dụng bdt A với m=x,n=z,p=\(\sqrt{2}\).q=\(\sqrt{2}\) ta được

 \(\sqrt{\frac{\left(x^2+z^2\right)\left(\sqrt{2}^2+\sqrt{2}^2\right)}{4}}\ge\sqrt{\left(x\sqrt{2}+z\sqrt{2}\right)^2}\)/2=\(\frac{\sqrt{2}\left(x+y\right)}{2}\)

Tương tự với cái phần tử còn lại ta được điều cần cm